基本不等式讲义-2024届高三数学一轮复习

基本不等式讲义（解析部分） 解： 方法1：轮换对称式+积升次 上面三式相加有： 故： 方法2：轮换对称式+换元+和降次 方法3：换元+柯西不等式 同方法2， 方法4：换元+权方和 基本不等式 1、 基本概念定理 1. 基本不等式：取等. 2. 多元基本不等式与三元基本不等式：均相等时取等. 3. 柯西不等式：两向量平行取等. 4. 排序不等式： 5. 权方和不等式：两向量平行取等. 2、 题型与方法 常见方法有： 1. 直接用基本公式 2. 常量代换 3. 齐次化 4. 升降次 5. 轮换对称式 6. 待定系数法 7. 取倒反推 8. 换元法 9. 消元法 10. 二次函数判别式法 11. 拆项 1. 直接用基本公式 2. 常量代换 3. 齐次化：分子分母具有相同的次数. 齐次化方式1：分子分母同次。由于分母是二次式，所以将分子全部变成二次式得： 齐次化方式2：等式左右同次。 （1） 最后一步成立，以上每步可逆，故（1）式成立。 （2） 最后一步成立，以上每步可逆，故（1）式成立。 4. 升降次 5. 轮换对称式 解：分析题目，具有轮换对称式，取等条件 已知为正数，且满足,证明： 解：第1问齐次化： 上面三式相加有： 取等： 第2问:轮换对称拆项 取等： 【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且，证明： (1)； (2)； 【分析】 （1）利用三元均值不等式即可证明； （2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可． (1) 证明：因为，，，则，，， 所以， 即，所以，当且仅当，即时取等号． (2) 证明：因为，，， 所以，，， 所以，， 当且仅当时取等号． 6. 待定系数法 7. 取倒反推 8. 换元法 9. 消元法 10. 二次函数判别式法 带入条件有：整理有： 因为存在，故上式判别式有： ； 11. 拆项 12. 柯西不等式 【2019年新课标3卷理科】设，且 （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 【答案】(1) ；(2)见详解. 【详解】 (1) 故 等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立 所以的最小值为. (2) 若成立,故由柯西不等式得： ，解得：或. 基本不等式专项讲义（原卷部分） 基本不等式专项讲义（原卷） 1、 基本概念定理 1. 基本不等式：取等. 2. 多元基本不等式与三元基本不等式：均相等时取等. 3. 柯西不等式：两向量平行取等. 4. 排序不等式： 5. 权方和不等式：两向量平行取等. 2、 题型与方法 常见方法有： 1. 直接用基本公式， 2. 常量代换， 3. 齐次化， 4. 升降次， 5. 轮换对称式 6. 待定系数法 7. 取倒反推 8. 换元法 9. 消元法 10. 二次函数判别式法 11. 拆项 13. 直接用基本公式 14. 常量代换 15. 齐次化：分子分母具有相同的次数. 16. 升降次 17. 轮换对称式 已知为正数，且满足,证明： 【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且，证明： (1)； (2)； 18. 待定系数法 19. 取倒反推 20. 换元法 21. 消元法 22. 二次函数判别式法 23. 拆项 24. 柯西不等式 【2019年新课标3卷理科】设，且 （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$