4.3.1等比数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 及通项公式(1) 授课老师 共同特点: 从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数. 课堂探究 观察,并说出它们的运算特点. (1)… (2)… (3)… (4) (5)。 (6)1,2,4,8,16,32,… 等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(显然q ≠ 0). 等比数列通项公式的理解 (1)已知首项a1和公比 q,可以确定一个等比数列. (2)对于等比数列{an}, 若q>0,则数列{an}各项同号; 若q<0,则{an}中正负项间隔出现. ... 概念辨析 思考:2 , 2 , 2 ,…是等比数列? 思考:0 , 0, 0 ,…是等比数列? 思考:2 , 0, 2,0,…是等比数列? 是等比数列 首项是2,公比是1 不是等比数列 不是等比数列 结论:1、常数列一定是等差数列 2、 任意项不为零的常数列是等比数列 课堂探究 类比等差数列,在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列: (1) 2,( ),8 (2) -12,( ),-3 4或-4 6或-6 由三个数a,A,b组成的等比数列可以看成是最简单的等比数列.这时,A叫做a与b的等比中项且A2=a+b. 【思考】下列所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列:(1)2,4;(2)-1,-5;(3)3,27;(4)a,b(a,b不为0). 例题解析 例2:如果-1,a,b,c,-9成等比数列, 那么b=_,ac=_. 【解析】因为b是-1,-9的等比中项, 所以b2=9,b= 3. 又等比数列奇数项符号相同,得b<0,故b=-3, 而b又是a,c的等比中项, 故b2=ac,即ac=9. 首项为a1, 公差为q的等比数列{an}的通项公式为 知识新授 等差数列 等比数列 定义 an-an-1=d(n≥2,n∈N*) an+1-an=d(n∈N*) (n≥2,n∈N*) (n≥2,n∈N*) 通项公式 函数角度 (n∈N*) (当q>0且q≠1) (n∈N*) 中项 例题解析 例1:在等比数列{an}中: (1)a1=1,a4=8,求an; (2)an=625,n=4,q=5,求a1; (3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 【解析】(1)a4=a1q3, 8=q3,所以q=2,an=a1qn-1=2n-1. (2), 例题解析 例1:在等比数列{an}中: (1)a1=1,a4=8,求an; (2)an=625,n=4,q=5,求a1; (3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 【解析】(3),两式相除可得 ,又, ,. 1.在等比数列{an}中, (1)若 , ,求an; (2)若 , ,求an. 解:(1)设等比数列{an}的公比为q, 由题 解得 , ∴{an}的通项公式是 . (2)设等比数列{an}的公比为q, 由题 解得 或 ∴{an}的通项公式是 或 . 即 或 . 第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 及通项公式(2) 授课老师 等比数列的判定 例1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an-1. 判断数列{an-1}是否为等比数列?并说明理由. 解析:数列 是等比数列. 证明如下: ∵ , , ∴ ∴数列 是以1为首项,公比为2的等比数列. 1.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,试判断数列{an}是否是等比数列? 解:∵ ,∴ , 作差得 ∴ , 又 ,∴ ∴数列{an}是以-1为首项,公比为2的等比数列. 反思感悟 巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三个数成等差数列,则常设成a-d,a,a+d.若三个数成等比数列,则常设成 ,a,aq或a,aq,aq2. 20 例2.已知三个正数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数. 解析:法一:设这三个数依次为 , , 由题意知 , 所以 化简得 即 ,解得 或 又三个数为正数,故 或 当 时, ,这三个数依次为1,3,9; 当 时, ,这三个数依次为9,3,1. 法二:设这三个数依次为 , , , 由题意知 , 化简得 ,解得 或 又三个数为正数,故 或 当 时, ,这三个数依次为1,3,9; 当 时, ,这三个数依次为9,3,1. 1、有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 解: 第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 及通项公式(3) 授课老师 (4){anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列; (5){|an|}是公