专题4.5 函数应用（二）（第3讲）（重点题型解题技巧）-2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

专题4.5 函数应用（二）（第3讲）（重点题型解题技巧） 【题型1 指数函数模型的应用】 【题型2 对数函数模型的应用】 【题型3 幂函数模型的应用】 题型1 指数函数模型的应用 具体步骤如下： 第一步：将实际问题简化为简短的文字语言 第二步：利用函数知识建立起数量关系与指数函数模型 （（为常数，，且）） 第三步：求解数学问题并进行验证． 模型1：某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．（结果写成（，n为正整数）的形式，a精确到0.01） 破解：根据题意，假设第代得到的种子数为， 第一步：由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子， 第二步：则， 第三步：当时，粒. 模型2：某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示： 时间月 1 2 3 4 浮萍的面积 3 5 9 17 现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且. (1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式； (2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由. 破解：（1）第一步：应选择函数模型②. 第二步：依题意，得，解得， 所以关于的函数解析式为. 第三步：（2）. 理由：依题意，得，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以. 1．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（    ）（参考数据：，） A．0.82 B．1.15 C．3.87 D．5.5 2．20世纪30年代，数学家柯布和经济学家保罗·道格拉斯共同提出一个生产函数理想模型：其中Q表示收益（产值），K表示资本投入，L表示劳动投入；A为一个正值常数，可以解释为技术的作用；，表示资本投入在产值中占有的份额，表示劳动投入在产值中占有的份额．经过实际数据的检验，形成更一般的关系：，，则（    ） A．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍 B．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加多于一倍 C．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍 D．若，，则当所有投入增加一倍时，收益增加小于一倍 3．随着社会的发展，城市环境污染问题日益严重，某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量 W(mg/L)与时间t(h)的关系为 其中 W₀为初始污染物的数量，r为常数. 若在某次过滤过程中，前3个小时过滤掉了污染物的20%，则经过9小时后剩余的污染物是初始状态的（    ） A．24% B．76% C．48.8% D．51.2% 4．哈六中学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时．会议室才能进入使用．则工作人员至少在会议开始时提前（    ）分钟进行消毒工作． A．50 B．60 C．90 D．120 5．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：） A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h 6．在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T．R．Malthus，1766～1834）就提出了自然状态下人口增长模型：（r为人口年自然平均增长率，t为经过的时间，表示当时y的值），截止2020年5月17日，全球人口总数约为76亿，联合国人口基金会人口与发展处的负责人弗朗西斯·法拉赫博士告诉记者，过去10年中，世界人口增长率已呈下降趋势，估计从2020年底开始到