4.1指数-4.2指数函数讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第9讲 指数与指数函数 一、教学目标 1. 理解根式和分数指数幂的含义，并且能进行两者之间的互化. 2. 掌握根式的性质，并能运用根式的运算性质进行根式的运算. 3. 掌握实数指数幂的运算性质，学会化简较复杂的运算式子. 4. 了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数. 5. 掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的 单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域. 6. 能解决与指数函数有关的综合性问题. 2、 知识梳理 1. 根式 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 【特别提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (2)指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 4.常用结论 （1）指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 3、 课堂练习 指数运算 1.化简（    ） A． B． C． D． 2.若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 3.计算： (1)； (2) 4.计算： （1）计算：； （2）已知，求的值． 指数函数的定义与图象性质 5.若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 6.若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 7.函数，且的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．9 8.已知，则 . 9.已知偶函数，，且当时，，则 ． 10.已知函数且，且的图象过点. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 指数函数综合应用 11.已知函数，则（     ） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 12.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13.设，，，则（    ） A． B． C． D． 14.已知，则（    ） A． B． C． D． 15.已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 16.已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 17.已知函数，则该函数的单调递减区间为 ． 18.函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是 ；若点P在直线上，则的最小值为 . 19.函数的值域为 ． 20.函数的单调递增区间为 . 21.已知函数是定义在R上的奇函数. (1)求的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围. 22.已知函数，. (1)若，关于x的不等式的解集为，求，的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)定义：在闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间D，，使得，求正数的最小值. 4、 课后作业 1.函数是指数函数，则的值为　　 A．1 B．