3.2 双曲线的标准方程及简单几何性质讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线----双曲线 一、知识清单 1、双曲线的定义 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距． 注：对双曲线定义中限制条件的理解 (1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在． (2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线． (3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． (4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支． 2、双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分： （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合：由定义可知，双曲线就是集合： ． （3）代数方程：∵， ∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得：两边再平方，整理得： （以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．） 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得： 即，其中.这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线 根据 根据 ， ， ，（a＞b＞0） ，（a＞0，b＞0，a不一定大于b） （a最大） （c最大） 标准方程统一为： 3、双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 双曲线的轴 实轴 A1A2=2a 虚轴B1B2=2b 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 注：（1）巧记双曲线焦点位置与方程的关系 焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． （2）等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为. 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． （3）离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大， e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 二、方法技巧 1.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． [注意]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　　　 2.直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 3.弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 4.双曲线的焦点问题 在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　　　　 　 （1）顶点到焦点的距离：，； （2）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （3）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 三、双曲线常用二级结论 （1） ①双曲线上的动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a； ②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b； （2）渐