精品解析：广东省珠海市紫荆中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

珠海市紫荆中学2023-2024学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 5. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，连接BE，则BE的长为（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知二次函数的图象上有三个点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A. 289（1﹣x）2=256 B. 256（1﹣x）2=289 C. 289（1﹣2x）2=256 D. 256（1﹣2x）2=289 9. 在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽为，当油面宽为时，油上升了（ ）厘米 A. 1 B. 7 C. 1或7 D. 3或4 10. 已知抛物线，经过点．判断下列结论：①；②；③若是任意实数，则；④方程有两个不相等的实数根；⑤无论取何值，抛物线定过其中正确结论的个数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 抛物线的顶点坐标是____． 12. 已知关于的一元二次方程两个根为，则_________． 13. 已知是一元二次方程的一个根，则_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与抛物线分别交于、，则关于x不等式的解集是______． 15. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 16. 如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到，交于点F，连接，则当是等腰三角形时，旋转角_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 17. 解方程：． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系xOy后，点A的坐标为 （1）直接写出关于点O中心对称的的三个顶点的坐标______． （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并直接写出直线长． 19. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求的值． 21. 如图，已知中弦，点是上一动点，连接，过点作于点于点，连接． （1）若点运动到中点，此时点到弦的距离为2，求的半径； （2）在点运动过程中，线段的长是否发生改变？如果不变，求出线段的长；如果改变，请说明理由． 22. 某工厂产品每件进价为25元，当售价为每件30元时，每天可售出220件，突如其来的新冠疫情影响了经济效益，在复工复产时对产品价格进行了调整，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件． （1）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2700元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ （2）在进价不变条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案：方案A：每件商品涨价不超过26元；方案B：每件商品的利润至少为31元．请比较哪种方案的利润更大，并说明理由． 五、解答题（三），本大题共2小题，每小题12分，共24分． 23. 在等腰中，，，，D是线段上的动点，M为中点． （1）如图（1），若将线段绕点逆时针旋转得到，连接．在点的运动过程中，解决如下问题： ①【猜想证明】与的关系是_________； ②【探究应用】求周长的最小值； ③【探究应用】当取最小值时，求的长； （2）【拓展提升】如图（2），若为线段上的两