双曲线渐近线的教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线渐近线的教学设计 一、教材分析 渐近线是双曲线的一个区别于椭圆的不同性质。也是双曲线重要的几何特征与基本性质，通过学习双曲线的渐近线，可以使学生对曲线的渐近线有新理解与新认识。同时可以锻炼学生的洞察力，类比猜想与自主分析能力，数形结合能力，并能解决一些与渐进线有关的简单几何问题。 二、学生情况分析 学生已经接触过有关曲线渐近线的内容，例如指数函数、对数函数、三角函数等图象的渐近线。特别是学生对初中学习的反比例函数的图象是双曲线，并对它有渐近线具有很直观的认识。因此，这些认知基础是学生探索发现标准位置双曲线的渐近线的出发点和深化剂，通过探究标准位置双曲线的渐近线方程与性质学生可以体会类比的学习方法在数学学习中的重要作用。 三、教学目标 知识与技能 1、理解标准位置的双曲线存在渐近线，能够证明标准位置双曲线的渐近线就是。 2、熟练掌握求解双曲线渐近线的方法，知道双曲线有两条不同的渐近线。 3、通过探究标准位置双曲线的渐近线，了解标准位置双曲线渐近线的有关性质。 4、经历学习双曲线渐近线的过程，进一步培养学生动手操作，以及数形结合的能力。 过程与方法 通过回顾反比例函数图象的渐近线及其性质，类比地探究标准位置双曲线的渐近线方程及其性质，体会类比方法在数学学习中的重要作用。 情感、态度和价值观 由双曲线渐近线的发现过程，了解到反比例函数渐近线与标准位置双曲线渐近线的异同，感受探索的乐趣；由证明猜想过程，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度 四、教学重点与难点 重点：1、标准位置的双曲线存在渐近线；2、标准位置双曲线渐近线的求解方法。 难点：1、如何发现双曲线的渐近线；2、证明标准位置双曲线的渐近线是。 五、教学过程设计 1.问题情境，铺垫引入 (1)同学们以前都学过哪些曲线的渐近线？（回顾思考） 教师启发：（重点提到反比例函数）反比例函数的图象是双曲线，它的图象存在渐近线。 (2)反比例函数的解析式除了这一种形式，还能否写成其他形式？（学生思考并回答） 教师启发：反比例函数的另一种表达方式（板书）。取不同的,同样可以得到不同的函数。 【设计意图】以上两个问题通过让学生回顾旧知识，从而改善学生对新知的陌生心理，同时也为后面学习标准位置双曲线的渐近线及其性质奠定了良好的知识与方法基础。创设问题情境，激发学生学习的兴趣以及发现问题的能力。 2.类比启迪，促成发现 (1)类比1：反比例函数存在两条渐近线，方程表示的曲线也是双曲线，只不过它是标准位置的双曲线，那么它是否也有渐近线呢？ 教师启发：由于同为双曲线，我们可以猜想它是存在渐近线的。 【设计意图】通过认识与的图象的相似性，类比猜想也存在渐近线，由此降低了学习新知的难度，引起学生的兴趣，激发他们的求证意识，让学生学思路更清晰。这种类比猜想是一种合情的推理，因为在某些方面相同或相似的属性具有一定的延伸性，人们正是利用相似事物属性的延伸性，通过对一个事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识方法就是类比。 (2)类比2：反比例函数的渐近线为，即。那么的渐近线又该是什么呢？ 教师启发：令，则同样取不同的也会得到不同的双曲线。由，当表示双曲线，表示其渐近线，我们可以类比猜想就是()的渐近线。 【设计意图】引导学生类比发现就是标准位置双曲线的渐近线，这是一种合情的推理，这个恰当的类比会进一步改变学生对新知的陌生心理。 (3)类比3：反比例函数和标准位置的双曲线，二者虽相似但并非相同，为什么均表示渐近线呢？能否通过图象更直观地得到二者之间的关系？ 教师启发：对于反比例函，在几何画板中展示当越来越小时如反比例函数的图象越接近于其渐近线，即。 标准位置的双曲线，当越来越小时，是否也同样越来越接近于？ 同样在几何画板中展示动画，当越来越小时，让同学们观察观察动画，并说出自己的观点。 之后作静态图的展示。 ( 图2 ) ( 图1 ) 【设计意图】学生通过观察动画并分析，体会这种发现过程，使学生认识到无论是反比例函数的图象，还是标准位置的双曲线，其渐近线都具有共同的特点，即当越来越趋于0时，可以通过图象直观地看到曲线越来越趋向于渐近线，这也是当时方程和均表示渐近线的理由。 3.依据定义，证明发现 (1)由于只是猜想的渐近线是（即），显然并没有证明