3.1.2椭圆的简单几何性质（3）（直线与椭圆的位置关系）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线与椭圆的位置关系 问题2:怎么判断它们之间的位置关系? 问题1:直线与圆的位置关系有哪几种? d>r d<r d=r ∆>0 ∆<0 ∆=0 几何法: 代数法: 回忆:直线与圆的位置关系 代数法: 判断直线与椭圆交点个数 ∆=0, (1)联立方程组 (2)消去一个未知数 (3)判断 直线与椭圆的位置关系 相离 相切 相交 ∆<0, ∆>0 点P(x0,y0)与椭圆(a>b>0)的位置关系: (1)点P在椭圆上 + 1; (2)点P在椭圆内部 1; (3)点P在椭圆外部 1. 点与椭圆的位置关系 > < = 例7 已知直线椭圆何值时,直线椭圆: (1)有两个公共点?(2)有且只有一个公共点?(3)没有公共点? 解:由方程组 消去y,得 ① 方程①的根的判别式 64m24225)=36(). 由方程①有两个不相等的实数根,直线l与椭圆有两个不同的公共点. 由方程①有两个相等的实数根,直线l与椭圆有且只有公共点. 由方程①没有实数根,直线l与椭圆没有公共点. 题型: 例1:已知直线l:y=2x+m,椭圆: ,试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点。 总结: 联立方程 消元得一元二次方程 利用根的判别式判断根的个数 得出结论 直线与椭圆的位置关系 解:直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组,消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0① 方程①的根的判别式 =(8m)2-4 9 (2m2-4)=-8m2+144 (1)当 >0,即-3<m<3时,方程①有两个不相等的实数根,这时l与椭圆C有两个公共点。 (2)当 =0,即m=3或-3时,方程①有两个相等的实数根,这时l与椭圆C有一个公共点。 (3)当 <0,即m<-3或m>3时,方程①没有实数根,这时l与椭圆C没有公共点。 l 练1:(课本P114, 2)经过椭圆 的左焦点F1作倾斜角为60 的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,求AB的长. O x y F2 l • F1 • A B 弦长问题 《同步导练》81页 例2 弦长问题 (1)椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆与直线x+2y+8=0相交于P,Q,且|PQ|=,求椭圆方程? 《同步导练》82页 例2 弦长问题 (2)已知斜率为1的直线 l 经过椭圆+=1的右焦点F1,交椭圆于A,B两点,求弦AB的长? l m m 最值问题 分析: 作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考. 思考:最大的距离是多少? 设切线方程为:4x-5y+C=0 《同步导练》82页 例4 最值问题 在椭圆+=1上求一点P,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求出最短距离? l 《同步导练》83页 跟踪训练4 最值问题 已知椭圆x2+8y2=8,在椭圆上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最短,并求出最短距离? 中点弦问题 例8.已知椭圆的弦AB的中点P坐标为,求直线AB的方程. 1.“设而不求” 2.“点差法” 对于弦中点问题,可将所设交点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入曲线方程,两式相减,就可得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系,此法称为“点差法” 一般用设而不求的方法解决弦长问题、弦中点问题.直线与圆锥曲线的交点坐标是直线方程与圆锥曲线方程联立,得到关于x或y的二次方程的解,对交点坐标设而不求,利用根与系数的关系求解. 中点弦问题 例8.已知椭圆的弦AB的中点P坐标为,求直线AB的方程. 中点弦问题 ∴,即. 例8.已知椭圆的弦AB的中点P坐标为,求直线AB的方程. 中点弦问题 5 总结:中点弦问题,一般采用两种方法解决 (1)联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不求,从而简化运算. (2)利用“点差法”即若椭圆方程为 ,直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且弦AB的中点为M(x,y),则 ① , ② ①-②:a2(-)+b2(-)=0, ∴== . 这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系,从而使问题得以解决. 设弦AB方程为: y-1=k(x-2), y=kx-2k+1, +=1, = 解得:k=, ∴弦AB方程为: y-1=(x-2), 即x+2y-4=0, 若直线斜率不存在: 直线方程:x=2, (舍去). (4k2+1)x28k(2k1)x+4(2k1)216=0, 消去y得: =2, 解析 A(x1,y1) B(x2,y2) M(2,1) x y O 《同步导练》 P82 例3 过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦AB,使弦被M点平分.求弦AB所在的直线方程及弦AB的长. x+2y-4=0 , +=1, ∴弦AB的长为. x24x=0, 消去y得: 解析 A(x1,y1) B(x2,y2) M(2