2.2基本不等式第一课时课件 -2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§2.2基本不等式（第一课时） 在上节课，我们利用完全平方公式得出了一类的重要不等式： ∀a,b∈R，有+≥2ab （当且仅当a=b时，等号成立.） 探究一:当a>0,b>0,我们用， 去分别替换 中的a和b，会得到什么？ 替换后得到： + ≥2 a≥2 基本不等式 学习活动1：基本不等式的定义 概念：当a＞0,b>0,有 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 几何平均数 当且仅当a=b时，等号成立。 算术平均数 基本不等式 学习活动1：基本不等式的定义 学习活动2：基本不等式的证明 探究二：我们通过是特殊替代得到基本不等式的，能不能直接利用不等式性质推导出它呢 （a>0,b>0) 作差法： - = = = ∵ ≥0 ∴ ≥ （a>0,b>0） 当且仅当a=b时，等号成立 学习活动2：基本不等式的证明 还 （a>0,b>0) 证明：要证 ≤ 只要证 2≤a+b ① 要证①，只要证 2-a-b≤0 ② 要证②，只要证0 ③ 要证③，只要证≥0 ④ 显然，④是成立的。 当且仅当a=b时，④中的等号成立。 只要把上述过程倒过来，就能直接推出不等式了。 分析法 结论 条件 充分条件 经过前面的学习，我们知道基本不等式有代数 解释，其实基本不等式也有几何解释的。 下面我们一起来探究一下 学习活动3：基本不等式的几何解释 探究三：如右图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD. （1）你能在这个图中找到和分别是哪条线段的长？ （2）你能从这里得到基本不等式的几何解释吗? 解：由图可知圆的半径长=，那么哪条线段的长为呢？ 易证▲ACD相似于▲DCB ∴= ⇒=⇒CD= 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：≤ 显然当且仅当C与圆心重合，即a=b时，上述不等式的等号成立。 几何解释：在圆中：半径不小于半弦 例1 已知x>0，求x+的最小值 1.代数式是或者能转化为两个正数的和或积的形式 2.它们的和或积是一个定值 3.不等式中的等号是能取到 解：∵x＞0 ∴x+≥2=2 当且仅当x= ，即x=1时，等号成立。 ∴ x+的最小值为2. 一正 二定 三相等 通过本例题的解答，思考满足什么条件的代数式能够利用基本不等式来求最值呢？ 学习活动4：基本不等式的应用 例2 已知x,y都是正数，求证 (1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2 (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 证：∵x，y都是正数，∴≥ （1）当xy等于定值P时 x+y≥2 当且仅当x=y时，等号成立。 即：当x=y时，和x+y有最小值2 （2）当x+y等于定值S时 ≥ xy≤ 当且仅当x=y时，等号成立 即：x=y时，积xy有最大值 学习活动4：基本不等式的应用 简记：积定和最小 简记：和定积最大 已知0<x<1，求 的最大值 解：∵ 0<x<1 ∴x>0且1-x>0 ∴ ≤= 当且仅当x=1-x，即x=时等号成立。 ∴最大值为 练习 五.课堂小结 基本不等式 定义 证明方法 几何解释 应用 分析法 半弦小于等于半径 一正 二定三相等 求最值 $$