精品解析：浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

杭州二中2023学年第一学期高二年级期中数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“直线：与直线：互相垂直”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知事件相互独立，，，则（ ） A. 0.88 B. 0.9 C. 0.7 D. 0.72 3. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则点O到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 点在圆上运动，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是圆上两点，且. 若存在，使得直线与交点恰为的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知动点分别在正四面体的内切球与外接球的球面上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某学校随机抽取名学生数学周测成绩的频率分布直方图如 图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（ ） A. 众数或 B. 分位数为 C. 平均数为 D. 中位数为 10. 已知点和直线, 下列说法不正确的是 （ ） A. 经过点的直线都可以用方程表示 B. 直线在轴上的截距等于 C. 点关于直线的对称点坐标为 D. 直线关于点对称的直线方程为 11. 如图, 棱长为2的正方体中, E、F分别为棱的中点, G为面对角线上一个动点, 则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 点E到直线的距离为 C. 线段上存在点G, 使得 D. 线段上不存在点G, 使平面平面 12. 已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（ ） A. 若点P为椭圆上一点, 则的最大值是 B. 若点的坐标为, P是椭圆上一动点, 则线段长度的最小值为 C. 过F2作垂直于x轴的直线, 交椭圆于A, B两点, 则 D. 若椭圆上恰有6个不同点, 使得为等腰三角形, 则椭圆的离心率的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有________条. 14. 已知矩形，，沿对角线AC将折起，若，则二面角的余弦值为________． 15. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，椭圆上的点分别在第一､二象限内，若与的面积相等，且，则的离心率为__________. 16. 某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为，，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得，并且他填写的结果为直线与圆相交.若数组的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . （1）求; （2）求和夹角的余弦值. 18. 为调查高一、高二学生心理健康情况, 某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分). 经初步统计, 参加测试的高一学生成绩的平均分, 方差, 高二学生成绩(i= 1, 2, …, 40)的统计表如下: 成绩y 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 9 15 10 3 （1）计算参加测试高二学生成绩的平均分和方差； （2）估计该学校高一､高二全体学生的平均分和方差. 19. 在信道内传输0， 1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为， 收到1的概率为. （1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率； （2）依次发送1，1， 0， 判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明. 20. 已知圆. （1）求过点且与圆相切的直线方程; （2）求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程. 21. 如图，三棱台中，，，，点A在平面上的射影在的平分线上.