2024届高考数学一轮复习讲义： 平面向量的应用

课题：平面向量的应用 知识点 1．平面向量在几何中的应用 （1）用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 ⇔， 其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝（θ为向量a，b的夹角），其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a|＝＝， 其中a＝（x，y），a为非零向量 （2）用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题。 2．平面向量在物理中的应用 平向量的线性运算： 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律：； （2）结合律： 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 【注1】 1．向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线； 3．利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 【注2】 1．涉及三角问题求解方法： （1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的值； （2）去除向量的包装外衣，转化为形如：三角函数最值，但一定要关注自变量的范围．另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式，处理的结果之一就是转化为形如：，这一点很重要． 2．涉及平面几何问题，往往通过平面向量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系，应用函数方程思想解题． 【注3】 1．三角形中最值、范围问题的解题思路,建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． 3．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．　　　　 【注4】 1．平面向量中有关最值、范围问题的2种解题思路 （1）形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． （2）数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．求向量模的最值（范围）的方法 （1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解． （2）几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．　　 典型例题 例1直角中， 为斜边边的高，若， ，则（ ） A． B． C． D． 例2已知， ，且，则的值是（ ） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 例3在矩形中， , ，点为的中点，点在边上，若，则的值为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 例4如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A． B． C．1 D．-1 例5已知，，为坐标原点，点C在∠AOB内，且，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 例6在△ABC中，若，则△ABC的形状是（       ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 例7在中，若，则的形状为（       ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例8在平行四边形中，，，，为平行四边形内一点，，若（），则的最大值为（ ） A．1 B． C．