24.2点与圆、直线与圆的位置关系 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

点与圆、直线与圆的位置关系 教学目标: 1. 掌握点与圆的三种位置关系，并能根据点到圆心的距离与半径的大小关系判定它们的位置关系。 2. 理解并掌握确定圆的条件，三角形的外接圆、内切圆的概念。 3. 理解并掌握直线与圆的三种位置关系，并能根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定直线与圆的位 置关系。 4. 掌握圆的切线的判定和性质，会用圆的切线长定理解决有关问题。 教学重难点： 1.点与圆的位置关系. 2.直线和圆的位置关系. 3.切线长定理 4.切线的性质与判定 一、知识梳理 知识点一：点与圆的位置关系 1．点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点P在⊙O内d＜r；点P在⊙O上d＝r；点P在⊙O外d＞r． 2．圆的确定 （1）平面上，经过一点的圆有________个．（2）平面上，经过两点的圆有________个． （3）不在同一直线上的三个点确定__________圆． 3．三角形的外接圆与外心 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形________________的交点，叫做这个三角形的外心，它到三角形_______________________. 知识点二：直线与圆的位置关系 4. 直线与圆的位置关系 相交：直线和圆_________，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线，公共点叫做交点． 相切：直线和圆_________，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 相离：直线和圆________________________，这时我们说这条直线和圆相离． 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么： 直线与⊙O相交d<r； 直线与⊙O相切d=r； 直线与⊙O相离d>r． 5.圆的切线 （1）切线的性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 （2）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 （3）切线的证明方法 第一类：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”． 第二类：当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”． （4） 切线长与切线长定理 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和_________之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的______相等，圆心和这一点的连线______________. 即：∵、是的两条切线，∴，平分 （5）三角形的内切圆和内心 三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 （6）内切圆及有关计算： （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）中，则内切圆的半径r= 。 （3），其中是边长，是内切圆的半径。C B O A D （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，切⊙O于点为弦，叫弦切角，. 二、常用辅助线 类型一 遇弦作弦心距 解决有关弦的问题，常添加弦心距或者做垂直于弦的半径（或直径），再连接过弦的端点的半径。作用：一、利用垂径定理，二、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系，三、应用弦的一半、弦心距和半径组成的直角三角型，根据勾股定理求有关量。 类型二 遇弦连半径 遇到弦时，常连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连接圆周上一点和弦的两个端电，根据圆周角的性质可得相等的圆周角。 类型三 遇直径作直径所对的圆周角 遇到直径时，长添加直径所对的圆周角。作用：得到直角或直角三角形。 类型四 遇90°的圆周角连直径 遇到90°的圆周角时，长连接两条弦没有公共点的另一端点。作用：得到直径。 类型五 遇切线连圆心和切点 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1） 有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证明该直径与直线垂直。 （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。 类型六 遇两相交切线