4.5 函数的应用（二）（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

4．5函数的应用（二）（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． （2）进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 【过程与方法目标】 （1）能类比“一元二次方程有实根一元二次函数有零点一元二次函数的图象与轴有公共点”，得出“方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点”，能用函数观点看方程，能将方程问题转化为函数零点问题． （2）能结合具体实例说明二分法的定义和操作步骤，能画出二分法的程序框图，并能借助计算工具求具体函数的零点，能举例说明区间内的每一个值都是满足精确度的近似解． （3）针对具体的问题情境，能利用所给的函数模型通过运算求出参数，确定模型，并利用它描述或解释实际问题；能通过分析实际问题中变量增长方式的差异，选择适合的函数作为数学模型解决问题． 【情感态度价值观目标】 感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 直观上看，当连续函数的图象穿过轴时，存在零点．将这种直观感知用符号语言表达出来却是难点，原因是想不到这种转化．为破解此难点，教学中要通过“问题题情境”引导学生经历函数零点存在定理的探索发现过程． 二分法容易操作，但是将之一般化抽象出一个程序框图，以揭示其中的算法思想有一定困难．为此，可以先依据二分法的定义和操作步骤解决具体的求方程近似解问题，再通过教师讲解和阅读教科书的方式，将求解过程用程序框图表示出来，并通过教师介绍，了解框图中符号的含义． 函数的应用是老大难问题．难在需要根据背景信息分析数量及其关系并将之转化为函数问题，再一个困难是对得出的函数模型是否能用于描述实际问题变化规律的判断．另外，同一个实际问题可以建立不同类型的函数模型刻画其中的变化规律，哪一个更适合?要做出选择，这也是学生欠缺的． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约4课时 教学重点：函数的零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的方法与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程． 教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 问题1：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数根，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数．像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢?从二次函数的观点看方程，一元二次方程的根与函数的零点之间的关系是什么?蕴含着怎样的数学思想方法? 【破解方法】学生回忆并说出结果：一元二次方程有实根一元二次函数有零点一元二次函数的图象与轴有公共点．其中蕴含着转化的数学思想方法． 环节二、抽象概念，内涵辨析 问题2：对于一般函数，你认为可以如何定义函数的零点?函数的零点与相应的方程的实数解之间有怎样的关系? 【破解方法】学生通过类比得出定义和结论． 【归纳新知】 1、函数的零点 （1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点． 知识点诠释： ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． 归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 问题3：二次函数存在零点时函数图象具有怎样的特征，零点附近函数值的变化规律如何表达? 【破解方法】引导学生从具体的二次函数开始研究． 问题4：对于二次函数，观察图象，发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与轴有什么关系?在区间上是否也有这种关系?你认为如何利用函数的取值规律来刻画这种关系呢? 【破解方法】学生应该能说出函数图象与轴有交点，而且能先说出且，和且，之后归纳二者的共同特征：，进一步说出区间端点函数值异号． 问题5：我们得到了判断如上二次函数零点存在的办法，把它一般化就可以得到函数零点存在定理．你能叙述出这个定理吗? 【破解方法】学生先将上述猜想一般化，之后看书获得定理． 【归纳新知】 2、函数零点存在定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根． 知识点诠释： ①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数