3.2.1 双曲线及其标准方程（七大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

3.2.1双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形与标准方程； 2.会求双曲线的标准方程，知道双曲线标准方程的数字特征. 一、双曲线的定义 一般地,我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：（1）距离的差要加绝对值,否则只有双曲线的一支,若分别表示双曲线的左、右焦点,则有以下两种情形： ①若点P满足,则点P在左支上,如图（1） ②若点P满足,则点P在右支上,如图（2） （2）注意定义中的“小于”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”． ①若,即,根据平面几何知识知,当时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线；当时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线． ②若,即,根据平面几何知识知,动点轨迹不存在． （3）注意定义中的“非零”这一限制条件,若差的绝对值等于零,则动点轨迹是线段的垂直平分线． 二、双曲线的标准方程 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 的关系 考点01双曲线定义及辨析 1．已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 2．已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 3．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 4．如图，小明在ABCD外的某处出发，在ABCD范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可能是（    ）    A．椭圆的一部分 B．一段圆弧 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 5．（多选）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 6．（多选）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（   ） A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 7．（多选）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 考点02求双曲线的标准方程 8．以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 9．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（    ） A． B． C． D．或 10．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上，且过点； (2)经过两点，. 11．已知、两点，根据下列条件，写出动点的轨迹方程． (1)； (2)； (3)． 12．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 13．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 14．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，，焦点在x轴上； (2)，经过点，焦点在y轴上． 考点03根据双曲线的方程求参数 15．若双曲线的焦距为4，则（    ） A． B．1 C．2 D． 16．若双曲线的一个焦点为，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 17．双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（    ） A．1 B． C．1或 D．2 18．若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则 . 19．双曲线与椭圆的焦点相同，则实数 . 考点04根据方程表示双曲线求参数范围 20．已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（多选）若关于的方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，表示双曲线 B．当时，表示两条直线 C．当时，表示圆 D．当时，表示关于坐标轴对称的椭圆 24．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 25．写出使“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值 . 26．已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是