3.1椭圆大题专题讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：椭圆大题专题 知识点、直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； （2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为 运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上， 两式相减得：， 即 ，故 结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值： （3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点， ．求：的面积（用、、表示）． 设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知： · ① 由椭圆定义知： ②，则得 故 典型例题 例1设分别是椭圆的左右焦点，的离心率为点是上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）倾斜角为且过点的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意知，又由知， 所以椭圆； （2）由题意知，则直线为， 所以到直线的距离为， 联立方程，整理得，即有， 而， 所以的面积为． 例2已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点． （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与轨迹交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，，． 【解析】（1）由题意知，， ， 由椭圆定义知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，可知，，即，，则所以点的轨迹方程为； （2）存在；设，，不妨设， 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为， 联立，得，则， 由根与系数关系知， ， 当且仅当，即时的面积取得最大值 此时直线的方程为. 例3已知椭圆的方程为，左､右焦点分别是，，若椭圆上的点到，的距离和等于4． （1）写出椭圆的方程和焦点坐标． （2）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，，若原点在以线段为直径的圆外，求直线的斜率的取值范围． 【答案】（1），，；（2）． 【解析】（1）由题意得，即，又点在椭圆上， ，即，椭圆的方程为，焦点，． （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设：，代入， 整理得，， 得．设，，，， 原点在以线段为直径的圆外，为锐角， ，则， 又， ， ，，直线的斜率的取值范围是． 例4已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，，，，且，分别是弦，的中点． （1）求椭圆的方程． （2）求证：直线过定点． （3）求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为． 【解析】（1）因为 椭圆经过点，所以，因为，与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形， 所以 ，，所以 ，解得，， 所以 椭圆方程为． （2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为， 联立，消去得， 设，，则，， 所以， 由中点坐标公式得， 将的坐标中的用代换，得的中点， 当时，所在直线为，当时，， 直线的方程为， 整理得，令，可得，即有， 所以直线过定点，且为．综上，直线过定点，且为． （3）方法一：面积为 ．令， 由于的导数为，且大于0，所以在上递增． 所以在上递减，所以当，即时，取得最大值为，则面积的最大值为． 方法二：，， 则面积， 令，则， 当且仅当，即时，面积的最大值为． 所以面积的最大值为． 例5已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据条件可知，以及 ，求得椭圆方程；（Ⅱ）设，则，根据条件求直线的方程，并且表示直线的方程，并求两条直线的交点，根据 ，根据坐标表示面积比值. 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为. 由题意得解得 所以. 所以椭圆的方程为. 由点在椭圆上，得. 所以. 又， ， 所以与的面积之比为. 例6已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点． （1）求直线的斜率的取值范围； （2）若线段，的中点分别为，，证明直线经过一个定点，并求出此定点