构造函数解决函数不等式讲义-2024届高三数学二轮专题复习

构造函数解决函数不等式 导数中常有一类题型，它们事关不等式，但同时是利用了函数关系而生成的不等式关系，这类不等式我们称之为函数不等式.解决该类问题，我们需要利用题目所给信息，进行构造函数，构造出符合条件的函数，我们往往能够借助构造函数的单调性解决该类问题.构造函数主要有以下几类：加减法构造函数、乘除法构造函数、加减乘除混合类、含参类、三角函数型构造函数以及定积分构造函数 1、 加减法 若题目中出现了 f '(x)± g '(x)，则构建 h (x)= f (x) ±g (x)； 特殊的，若题目中出现了 f '(x)±k，则构建 h (x)= f (x)±kx. 例1、 已经知道f (x)为奇函数，而且 f '(x)在[0，+∞）上恒小于1，求f(2020m)f(m)≥20202m的m的取值范围. 解：题目有：f(2020m)f(m)≥20202m 变形得：f(2020m)（2020m）≥f(m)m 构造函数g (x)=f (x)x g '(x)= f '(x)-1<0 因为f (x)为奇函数，且y=x为奇函数，则g (x)为奇函数 g (x)在R上单调递减 f(2020m)（2020m）≥f(m)m即g (2020-m)≥g (m) 有：2020-m≤m 解得m∈[1010，+∞）. 二、乘除法构造函数 1、 若题目出现nf (x)+x f '(x)，则构造函数g (x)=f (x)； 若题目出现nf (x)x f '(x)，则构造函数g (x)=. 例2、已知偶函数的定义域是，其导函数为 f '（x），对定义域内的任意，都有成立，若，则不等式的解集为 A． B． C． D． 解：当时，由得，， 令，则在上也为偶函数 且当时，总成立，在区间上是增函数 可化为，则 又，解得. 故选：B. 例3、已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 解：令，， 则， ∵，即， ∴， ∴在上单调递减， 故， 即， 即， 故选D． 2、 若题目出现 f '(x)+kf (x)，则构造函数g (x)=f (x)； 若题目出现 f '(x)kf (x)，则构造函数g (x)=. 例4、已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 解：令，则 因为对恒成立，所以对恒成立 ∴在区间上单调递增； 又∵，是锐角三角形的两个内角，∴，∴，∴， 因此，即，∴. 故选：C. 例5、定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 解：构造函数， 所以，函数为上的增函数 由，则，，可得，即 ，因此，不等式的解集为. 故选：C. 三、加减乘除混合类 1、若题目出现n f (x)+x f’(x)±n，则构造函数F(x)= f (x)± 例5、已知定义在上的偶函数的导函数为，函数满足：当时， ，且．则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 解：当时，，∴， 令 为上的偶函数，则 在R上为奇函数，且单调递增 且，则 ①当时，，即，，即，∴； ②当时，，，， 即，∴． 综上，不等式的解集为． 故选：C． 2、（kx+b）与f（x）型 若题目出现k f(x)+(kx+b) f ’(x)，则构造函数F（x）=(kx+b) f(x)； 若题目出现k f(x)—(kx+b) f ’(x)，则构造函数F（x）=； 若题目出现(kx+b) f ’(x)—k f(x)，则构造函数F（x）=. 例6、已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数，当时，，则不等式的解集为 A. B. C. D. 解：由题意设，则，当时， ，当时，，则在上递增，函数 的定义域为，其图象关于点中心对称，函数的图象关于点中心对称，则函数是奇函数，令是上的偶函数，且在递增，由偶函数的性质得：函数在上递减，不等式化为：，即，解得，不等式解集是，故选C. 3、 与af（x）+bg（x）型 例7、设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ） A. B. C. D. 解：设，所以， 因为，所以， 所以在上单调递减，且， 又因为等价于，所以解集为，故选：C. 例8、设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 A. B. C. D. 解：设，则， ∵，，∴，∴是上的增函数， 又，∴的解集为， 即不等式的解集为.故选A. 1、 含参类 例6、已知定义在上的函数满足（为常数）且，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：由，可得，． 又由，可得：， 所以． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因为，，， 所以，解