1.2.3 简单复合函数的求导-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

1.2.3　简单复合函数的求导 [学习目标]　1.理解复合函数的概念.2.掌握复合函数的求导法则，并能求简单复合函数的导数． 知识点　复合函数的概念 [问题导引1]　已知函数y＝2x＋＋sin x，y＝sin(2x＋)，y＝ln(x＋2)，这三个函数都是复合函数吗？ 提示：　y＝sin(2x＋)，y＝ln(x＋2)是复合函数，y＝2x＋＋sin x不是复合函数． [问题导引2]　y＝sin(2x＋)是如何复合的？如何求出其导数？ 提示：　设u＝2x＋，则y＝sin u，所以y＝sin(2x＋)看成y＝sin u与u＝2x＋复合而成的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．根据复合函数的求导法则，有y′x＝y′u·u′x＝(sin u)′·(2x＋)′＝cos u×2＝2cos(2x＋)． 1．复合函数的概念 一般地，设y＝f(u)是关于u的函数，u＝g(x)是关于x的函数，则y＝f(g(x))是关于x的函数，称为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数． 点拨：　分清复合函数的复合关系，适当选定中间变量． 2．复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝f′(u)·g′(x)，即y对x的导数等于y′x＝y′u·u′x． 点拨：　(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数． 学生用书第16页 角度一　复合函数的考查 下面函数是复合函数的是(　　 ) A．f(x)＝()x B．f(x)＝cos x＋1 C．f(x)＝log4(x＋1) D．f(x)＝4ln x C　[f(x)＝log4(x＋1)由u＝x＋1，y＝log4u复合而成．故选C．] 分清复合函数由哪些基本函数复合而成，适当选择中间变量．　　 即时练1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　 ) A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 A　[函数y＝(x2－1)n可以看作y＝un与u＝x2－1复合而成，故选A．] 角度二　复合函数求导法则求导数 求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋3)10； (2)y＝e2x＋1； (3)y＝ln(3x－2)． 解析：　(1)函数y＝(2x＋3)10可以看作y＝u10与u＝2x＋3复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(u10)′·(2x＋3)′＝10u9·2＝20(2x＋3)9. (2)函数y＝e2x＋1可以看作y＝eu与u＝2x＋1复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝eu·2＝2e2x＋1. (3)函数y＝ln(3x－2)可以看作y＝ln u与u＝3x－2复合而成，根据复合函数求导法则有 y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(3x－2)′＝·3＝(x>)． 复合函数求导的步骤 其中对于复杂复合函数的求导首先进行运算法则．　　 即时练2.求下列函数的导数： (1)y＝e4x＋1；(2)y＝； (3) y＝5log2(1－x)；(4)y＝. 解析：　(1)函数y＝e4x＋1可看作函数y＝eu和u＝4x＋1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(4x＋1)′＝4eu＝4e4x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′·(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝ ＝. (4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝. ∴y′＝＝＝. 学生用书第17页 即时练3.求下列各函数的导数： (1)y＝＋； (2)y＝； (3)y＝(1＋sin x)2； (4)y＝ln(2x＋1)． 解析：　(1)∵y＝＋＝， ∴y′＝′＝＝. (2)∵y＝＝cos x－sin x， ∴y′＝－sin x－cos x. (3)设u＝1＋sin x，则y＝(1＋sin x)2可看作由y＝u2与u＝1＋sin x复合而成． 因此y′＝y′u·u′x＝2u·cos x ＝2cos x(1＋sin x)． (4)y′＝(ln(2x＋1))′＝·(2x＋1)′ ＝·2＝. 角度三　导数的综合应用 已知曲线y＝cos(ωx＋)在点(，0)处的切线的斜率为k，若|k|<1，求ω的值．