1.2.1 几个基本函数的导数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

1.2　导数的运算 1．2.1　几个基本函数的导数 [学习目标]　1.会应用导数的定义推导六种常见函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式． 知识点一　常见幂函数的导数 [问题导引1]　请同学们回忆，如何根据导数的定义求导数的步骤？ 提示：　取点A(x，f(x))，B(x＋d，f(x＋d))，平均变化率为， 当d→0时，→f′(x)． [问题导引2]　如何用定义求函数f(x)＝c的导数？类似地，你能求出函数f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝x3，f(x)＝，f(x)＝的导数吗？ 提示：　(1)最简单的函数是常数函数，即f(x)＝c. 这时有 ＝＝＝0. 当d→0时，0当然还是0，这表明f′(x)＝(c)′＝0. 即(c)′＝0. (2)若f(x)＝x，则 ＝＝＝1， 即(x)′＝1. (3)若f(x)＝x2，则 ＝＝＝2x＋d. 当d→0时，2x＋d→2x，这表明(x2)′＝2x. (4)若f(x)＝x3，则 ＝ ＝＝3x2＋3xd＋d2. 当d→0时，3x2＋3xd＋d2→3x2，所以(x3)′＝3x2. (5)f(x)＝，则 ＝＝ ＝－. 当d→0时，－→－，所以()′＝－. (6)若f(x)＝，则 ＝ ＝ ＝ ＝. 当d→0时，→，所以()′＝. 几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 点拨：　公式记熟以后直接使用，并掌握这些公式的共同点：符合幂函数的形式，其导数的规律是(xk)′＝kxk－1，这样就很容易记熟公式了． 角度一　导数在实际问题的应用 不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？ 解析：　立方体的体积V(x)＝x3，表面积S(x)＝6x2. 因为V′(x)＝(x3)′＝3x2， 所以其体积关于x的变化率为3x2，是立方体表面积的. 和导数定义法比较公式的应用更为方便．　　 即时练1.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝t2，求在t＝4 s时此球在垂直方向的瞬时速度． 解析：　∵球的运动方程为h＝t2， ∴h′＝2t，∴该球在t＝4 s时的瞬时速度为2×4＝8(m/s)． 学生用书第9页 角度二　利用导数公式求曲线的切线方程 写出过点A(－4，2)，并且和曲线xy－1＝0相切的直线方程． 解析：　由于点A不在曲线xy－1＝0上， 所以可设所求的切线和曲线切于点B(u，v)． 由uv－1＝0得v＝. 又曲线的方程可写成函数y＝，则y′＝－. 故曲线在点B处切线的斜率k＝－. 当u≠－4时，由A(－4，2)，B(u，v)可得kAB＝，故＝－. 又v＝，所以得u2－u－2＝0. 解得u＝－1或u＝2. 于是，切点B的坐标为B1(－1，－1)或B2(2，)，此时两条切线的斜率分别为－1和－. 当u＝－4时，直线AB与曲线xy－1＝0不相切． 因此，过点A有两条切线，方程分别为x＋y＋2＝0和x＋4y－4＝0，如图所示． 求过某个点(a，b)的方程的一般思路 (1)设出切点坐标(x0，f(x0))； (2)得到切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)； (3)代入点(a，b)得到方程b－f(x0)＝f′(x0)(a－x0)，求解方程； (4)结论．　　 即时练2.已知曲线y＝. (1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程； (2)求过点Q(1，0)的曲线的切线方程． 解析：　∵y＝，∴y′＝－. (1)显然P(1，1)是曲线上的点，所以P为切点， 所求切线斜率为函数y＝在点P(1，1)的导数， 即k＝f′(1)＝－1. 所以曲线在P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即为x＋y－2＝0. (2)显然Q(1，0)不在曲线y＝上， 则可设过该点的切线的切点为A(a，)， 那么该切线的斜率为k＝f′(a)＝－. 则切线方程为y－＝－(x－a)．① 将Q(1，0)代入方程：0－＝－(1－a)． 得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4. 知识点二　一些基本初等函数的导数 [问题导引]　利用函数f(x)＝c，f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝x3，f(x)＝，f(x)＝的导数，猜想函数y＝xn(n∈Q，n≠0)的导数是什么呢？ 提示：　(xn)′＝nxn－1. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 (1)f(x)＝c f′(x)＝0 (2)f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝αxα