3.3 正态分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

3.3　正态分布 [学习目标]　1.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.3.了解3σ原则，会求随机变量在特殊区间内的概率． 知识点　正态分布的定义 [问题导引]　现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量． 提示：　本节课研究一种重要的连续型随机变量——正态分布． 1．正态分布的定义 当样本点个数越来越大，分组数越来越多时(即组距无限缩小)，频率分布直方图的顶边会无限缩小乃至形成一条光滑的曲线(如图1)． 随机变量X在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线． 从图1可以看出，曲线呈现“中间高，两边低，左右大致对称”的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线，它的函数表达式为 学生用书第112页 p(x)＝e－ (－∞<x<＋∞)， 其中μ和σ为参数，且σ>0，μ∈R.p(x)称为概率密度函数．此时，我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)． 特别地，数学期望μ＝0，方差σ2＝1时的正态分布称为标准正态分布，其密度函数记为 φ(x)＝e－ (－∞<x<＋∞)， 其图象如图2所示，随机变量X服从标准正态分布，简记为X～N(0,1)． 点拨：　参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布，例如，某些物理量的测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量；自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)；某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等． 2．正态曲线的特点 由X的密度函数及图象可以发现，正态分布密度曲线有以下特点： (1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ处达到峰值 (最高点)． (4)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定． σ越大，曲线越扁平，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越尖陡，表示总体的分布越集中． (6)x轴与正态曲线所夹区域的面积等于1. 点拨：　正态分布的特点记忆要借助于图象，尤其是对称轴的表示意义，根据对称性确定出题方向． 3．正态分布的3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布X～N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，这在统计学中称为3σ原则． ①P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997 3. 点拨：　假设X～N(μ，σ2)，可以证明：对给定的k∈N*，P(μ－kσ≤X≤μ＋kσ)是一个只与k有关的值． 特别地，尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内，而在此区间外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生．解题时，应当注意零件尺寸应落在(μ－3σ，μ＋3σ)之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．其中对于3σ原则的区间端点值可以写开写闭． 角度一　正态曲线的图象的应用 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差. 学生用书第113页 解析：　从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是， 所以μ＝20.由＝，解得σ＝. 于是该正态分布密度函数的解析式是 f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 利用图象得到对称轴即均值，最大值为，求得标准差．　　 即时练1.某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　 ) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 A　[由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A．] 角度二　利用正态分布的对称性求概率 (1)若随机