3.2.3 离散型随机变量的数学期望-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

3.2.3　离散型随机变量的数学期望 [学习目标]　1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质.2.会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关的实际问题． 知识点　离散型随机变量的数学期望 [问题导引]　对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率．但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征．例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，我们需要研究哪个数字特征？我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有哪些特征数值． 提示：　平均分， 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差． 1．离散型随机变量的数学期望 随机变量X的均值：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)，数学期望简称期望，均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 点拨：　随机变量的均值是常数，而样本的均值依赖于样本的选择，是一个随机变量，在大多数情况下，当样本量足够大时，样本均值会接近于总体均值，因此我们常用样本均值估计总体的均值． 2．特殊分布列的数学期望 (1)若X～B(1，p)，则E(X)＝p. (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np. (3)若X～H(N，M，n)，则E(X)＝. 学生用书第105页 点拨：　随机变量X～B(1，p)，所以E(X)＝p；若X～B(n，p)，kC＝k＝nC(k＝1,2,3，…，n)， 所以E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋n×Cpnq0 ＝npCp0qn－1＋npCp1qn－2＋…＋npCpn－1q0 ＝np(Cp0qm＋Cp1qm－1＋…＋Cpmq0) ＝np(p＋q)m＝np(令m＝n－1)； 若X～H(N，M，n)， 由组合公式C＝C， 可得E(X)＝＝n·＝. 3．离散型随机变量的均值的性质 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，则有E(Y)＝aE(X)＋b，即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数． 点拨：　(1)当a＝0时，E(b)＝b，即常数的均值就是这个常数本身． (2)当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和． (3)当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积． 角度一　求离散型随机变量的均值 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． 解析：　由题意知X的可能取值为2,3,4,5. 当X＝2时，表示前2次取的都是红球， ∴P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取得红球，∴P(X＝3)＝＝； 当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，∴P(X＝4)＝＝； 当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，∴P(X＝5)＝＝. ∴X的分布列为： X 2 3 4 5 P ∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. 求分布列和均值的步骤 (1)根据X的实际意义，写出X的全部取值； (2)求出X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)利用定义求出均值．　　 即时练1.袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值． 解析：　X的所有可能取值为5,6,7,8. X＝5时，表示取出1个红球和3个白球， 此时P(X＝5)＝＝； X＝6时，表示取出2个红球和2个白球， 此时P(X＝6)＝＝； X＝7时，表示取出3个红球和1个白球， 此时P(X＝7)＝＝； X＝8时，表示取出4个红球， 此时P(X＝8)＝＝. 所以X的分布列为： X 5 6 7 8 P 所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 角度二　二项分布的数学期望 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3