3.2.1 离散型随机变量及其分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

3.2　离散型随机变量及其分布列 3．2.1　离散型随机变量及其分布 [学习目标]　1.理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示.2.掌握离散型随机变量的分布列的性质.3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列． 知识点　离散型随机变量 [问题导引1]　我们见过许多随机现象，比如射击选手每次射击时，命中的环数是0,1,2，…，10中的某个数；抛掷一枚骰子，朝上一面的点数是1,2,3，…，6中某个数，那么每一次的试验结果是否对应一个实数？为了描述方便是否可以用一个变量来表示随机试验的结果？ 提示：　是；可以． [问题导引2]　抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？ 提示：　所得的点数X有1,2,3,4,5,6，取每个值的概率是. 1．离散型随机变量 (1)如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量．随机变量通常用X，Y，ξ，η，…表示． (2)如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量． 点拨：　随机变量和函数的关系：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的随机试验的每一个可能结果，相当于函数定义中的自变量，而每一个可能结果组成的集合相当于函数的定义域，不同之处在于每一个可能结果组成的集合不一定是数集．按照随机变量的特性，通常可把随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． 可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图象表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1. 点拨：　离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和，分布列的概率之和为1，也是检验结果是否正确的一个方法． 角度一　分布列的求法 全班有40名学生，某次综合素质单项测评的成绩(满分5分)如下： 学生用书第96页 成绩 1 2 3 4 5 人数 4 20 12 3 1 现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量X的分布列． 解析：　由题意可得 P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝2)＝＝0.5， P(X＝3)＝＝0.3，P(X＝4)＝＝0.075， P(X＝5)＝＝0.025. 因此，随机变量X的分布列是 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.5 0.3 0.075 0.025 求离散型随机变量分布列时应注意的问题 (1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要清楚ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率． (2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．　　 即时练1.某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示． 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列． 解析：　由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5，且{X＝1}＝“不及格”，{X＝2}＝“及格”，{X＝3}＝“中等”，{X＝4}＝“良好”，{X＝5}＝“优秀”． 根据古典概型的知识，可得X的分布列是 X 1 2 3 4 5 P 角度二　分布列的应用 设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，其中c为常数，求P的值． 解析：　由离散型随机变量分布列的性质可知 ＋＋＋＝1， 所以c＝1. 解得c＝. 因此，P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 求出随机变量的分布列，然后根据分布列得到所求的概率．　　 即时练2.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列． 解析：　(1)记“第一