3.1.2 事件的独立性-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

3.1.2　事件的独立性 [学习目标]　1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.2.会用相互独立事件公式求解相关的概率问题． 知识点　事件的独立性 [问题导引1]　积事件AB的意义是什么？ 提示：　若事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的交事件(或积事件)，记作AB或A∩B． [问题导引2]　五一劳动节学校放假三天，甲乙两人打算去养老院，准备在三天内随机选择一天，记事件A＝“甲选择的是第一天”；乙准备在前两天中随机选择一天，记事件B＝“乙选择的是第一天”，直觉上，你觉得事件A是否发生影响事件B的发生吗？求出P(A)，P(B)，P(AB)并观察这三个值． 提示：　不会，P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 1．两个事件的独立性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 点拨：　若事件A与事件B相互独立，则事件A的发生不会影响事件B发生的概率，即有P(B|A)＝P(B)，反之若P(B|A)＝P(B)，则P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)． 2．相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立． 3．相互独立性 如果n(n>2)个事件A1，A2，…，An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称A1，A2，…，An相互独立，所以一般地，当n(n>2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 点拨：　注意满足P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)时，并不表示A1，A2，…，An相互独立． 角度一　相互独立事件的判断 判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 解析：　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.∴P(A∩B)＝P(A)P(B)， ∴事件A与B相互独立． 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．　　 即时练1.(1)一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件A1与是(　　 ) A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 学生用书第88页 (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　 ) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 解析：　(1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，对下次摸球结果没有影响，故事件A1，是相互独立事件． (2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A． 答案：　(1)A　(2)A 角度二　相互独立事件发生的概率 李浩的棋艺不如张岚，李浩每局赢张岚的概率只有0.45.假设他们下棋时各局的输赢是独立的，且只有输赢两种结果，现在他们对弈6局，计算： (1)李浩连输6局的概率(结果保留三位小数)； (2)李浩至少赢1局的概率(结果保留三位小数)． 解析：　(1)用A1，A2，…，A6分别表示第1局，第2局，…，第6局李浩输，则A＝A1∩A2∩…∩A6表示李浩连输6局． 因为事件A1，A2，…，A6相互独立，并且 P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)＝1－0.45＝0.55， 所以P(A)＝P(A1)P(A2)·…·P(A6) ＝0.556