2.4.3 向量与夹角-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

2．4.3　向量与夹角 [学习目标]　1.能用向量语言表述线线、线面、平面与平面的夹角.2.能用向量方法解决线线、线面、平面与平面的夹角问题.3.能描述用向量方法解决夹角问题的步骤，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 知识点一　直线与直线的夹角 [问题导引1]　根据立体几何的知识，我们怎样求两条异面直线a，b的夹角？异面直线a，b所成角的范围是什么？ 提示：　经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′与b′所成的角叫作异面直线所成的角(或夹角)；范围是. [问题导引2]　设直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为v1，v2，那么夹角θ与方向向量的夹角φ之间有什么关系？它们的余弦值满足什么等式？ 提示：　当0<φ≤时，θ＝φ，cos θ＝cos φ；当<φ<π时，θ＝π－φ，cos θ＝－cos φ. 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别是棱B1C1和C1D1的中点，求AD1与EF所成的角． 解析：　如图，以A为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，D1(0，1，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)， E(1，，1)，F(，1，1)． 故＝(0，1，1)，＝(－，，0)． 设直线AD1，EF所成的角为α，则 cos α＝|cos〈，〉|＝ ＝ ＝. 因此直线AD1与EF所成的角α＝. 学生用书第68页 (1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标；(2)求两条直线的方向向量；(3)求方向向量夹角的余弦值；(4)下结论．　　 即时练1.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°. (1)设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度； (2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值． 解析：　(1)＝＋＝＋－＝＋－＝a＋c－b， 因为a·b＝|a||b|cos∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，同理可得a·c＝b·c＝， 所以||＝ ＝ ＝＝. (2)因为＝a＋b， 所以||＝＝＝＝， 因为·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c－a·b＋b·a＋c·b－b2＝1＋－＋＋－1＝1， 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 知识点二　直线与平面所成的角 [问题导引1]　直线AB与平面α斜交，交点为B，怎样求直线AB与平面α所成的角？直线与平面α所成的角的范围是多少？ 提示：　过点A作AC垂直于α于点C，连接BC，则∠ABC叫作直线AB与平面α所成的角；范围是. [问题导引2]　设直线AB的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线AB与平面α所成的角为θ，v与n所成的角为φ，那么θ与φ之间有什么关系？它们的三角函数值满足什么等式？ 提示：　当0<φ<时，θ＝－φ；当<φ<π时，θ＝φ－.sin θ＝|cos φ|. 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，求直线AB与平面A1BD所成角θ的正弦值． 解析：　如图，以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)， 于是＝(－a，－a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，0)． 取直线AB的方向向量v＝(0，1，0)． 设n＝(x，y，z)是平面A1BD的法向量， 则 取x＝1，得y＝－1，z＝－1， 则n＝(1，－1，－1)是平面A1BD的一个法向量． 故sin θ＝|cos〈v，n〉|＝ ＝＝. 因此，直线AB与平面BDA1所成角θ的正弦值为. (1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标；(2)求直线的方向向量与平面的法向量；(3)求直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值；(4)下结论(注意线面所成角的正弦值是直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值)．　　 即时练2.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． (1)证明：BE⊥DC； (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值． 解析：　依题意，以点A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． 由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)． (1)证明：因为＝(0，1，1)，＝(2，0，0)， 故·＝0，所以BE⊥DC． (2)＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)． 设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量， 则即 不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)． 于是有|cos〈n，〉|＝＝＝，