2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 2.4.2 空间线面位置关系的判定-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

2.4　空间向量在立体几何中的应用 2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量　2.4.2　空间线面位置关系的判定 [学习目标]　1.掌握空间中点、直线和平面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的关系，会求一个平面的法向量.3.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行垂直关系.4.掌握利用向量解决探索性问题的方法． 知识点一　空间直线的方向向量 [问题导引]　我们知道点、直线和平面是空间的基本图形，如何用向量表示空间的一个点？对于空间直线，是否也可用空间向量来刻画其方向？ 提示：　取一定点O为坐标原点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量来表示；直线上取两个不同的点A、B，则有向线段AB代表的向量就表示直线的方向． 　空间直线的方向向量 (1)位置向量：取一定点O为坐标原点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量来表示， 称为点P的位置向量． (2)直线的方向向量：一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量． 点拨：　(1)直线l上取两个不同的点A、B，则有向线段AB代表的向量就表示直线l的方向向量，则λ(λ≠0)也是直线l的方向向量，所以直线的方向向量有无数个，这些方向向量相互平行的． (2)直线l上一个定点A以及这条直线l的一个方向向量，就可以确定这条直线的位置． 如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3.以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA′；(2)BD′. 解析：　由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)． (1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为vAA′＝(0，0，3)． (2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为vBD′＝(－4，－2，3)． 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一．　　 即时练1.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 A　[由题意得＝(－1，2－y，z－3)，∴＝km，∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得k＝－，y＝z＝，∴y－z＝0.选A．] 即时练2.从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C．(6，，1) D．(－2，－，13) A　[设＝λa(λ>0)，∵||＝34，|a|＝＝17，λ＝2，∴＝2a＝(16，18，－24)，又A(2，－1，7)，设B(x，y，z)，则有(x－2，y＋1，z－7)＝(16，18，－24)， ∴x－2＝16，y＋1＝18，z－7＝－24， 即x＝18，y＝17，z＝－17， ∴B(18，17，－17)．故选A．] 学生用书第62页 知识点二　平面的法向量 [问题导引1]　设两条直线相交于点O，它们确定平面α，这两条直线的方向向量分别为a，b，P为平面α内的任意一点，那么P在平面α内的充要条件是什么？ 提示：　存在唯一的有序实数组{x，y}，使得＝xa＋yb. [问题导引2]　如何寻找平面的法向量？ 提示：　一个向量垂直于平面α内的两个不共线的向量a，b，那么是平面α的一个法向量． 　平面的法向量 如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量． 点拨：　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．(3)给定一点A和一个向量a.则过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的． 如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1中A，B，D，A1的坐标分别为A(0，0，0)，B(a，0，0)，D(0，a，0)，A1(0，0，a)．分别求平面ABCD与平面BDA1的一个法向量． 解析：　由于z轴垂直于平面ABCD，而z轴可用方向向量＝(0，0，a)表示，因此(0，0，a)是平面ABCD的一个法向量． 设n＝(x，y，z)是平面BDA1的法向量． 由已知得＝(－a，a，0)，＝(－a，0，a)， 因而 取x＝1，得y＝z＝1， 则n＝(1，1，1)是平面BDA1的一个法向量． 确定平面的法向量通常有两种方法 (1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； (2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如