2.3.2 空间向量运算的坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

2．3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.3.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直． 知识点一　向量线性运算的坐标表示 [问题导引]　对于空间的一个标准正交基{i，j，k}，设两个非零的空间向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，类比平面向量运算的坐标表示回答下面问题：如何表示a＋b，a－b，λa? 提示：　∵a＝(x1，y1，z1)， ∴a＝x1i＋y1j＋z1k， ∵b＝(x2，y2，z2)，∴b＝x2i＋y2j＋z2k， ∴a＋b＝x1i＋y1j＋z1k＋x2i＋y2j＋z2k ＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； a－b＝x1i＋y1j＋z1k－(x2i＋y2j＋z2k) ＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j＋(z1－z2)k＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)； λa＝λ(x1i＋y1j＋z1k)＝(λx1)i＋(λy1)j＋(λz1)k＝(λx1，λy1，λz1)． 1．向量加减法、数乘的坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； ②a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)； ③λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)． 点拨：　(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致． (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 学生用书第58页 (3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示． 2．平行的空间向量的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有 a∥b⇔(x1，y1，z1)∥(x2，y2，z2)， 当a≠0时，a∥b⇔x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1(λ∈R)． 点拨：　两个向量平行时，对应坐标存在λ倍的关系，不要写成比值的形式． 角度一　向量加减法、数乘的坐标运算 已知a＝(－1，－4，8)，b＝(3，10，－4)，求a＋b，a－b，3a. 解析：　a＋b＝(－1，－4，8)＋(3，10，－4) ＝(－1＋3，－4＋10，8－4) ＝(2，6，4)． a－b＝(－1，－4，8)－(3，10，－4) ＝(－1－3，－4－10，8＋4) ＝(－4，－14，12)． 3a＝3(－1，－4，8) ＝(－3，－12，24)． 向量加减法、数乘的坐标运算直接代入运算，注意负号参与运算时导致的失误．　　 即时练1.若向量a＝(4，2，－4)，b＝(2，1，－1)，则2a－3b＝(　　 ) A．(6，3，－7) B．(－2，－1，－1) C．(2，1，－5) D．(14，7，－11) C　[因为a＝(4，2，－4)，b＝(2，1，－1)， 所以2a－3b＝2(4，2，－4)－3(2，1，－1)＝(2，1，－5)．] 角度二　用向量运算解决有关平行的问题 已知空间四点A(－3，3，1)，B(3，－5，3)，C(10，0，10)和D(7，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形． 证明：　依题意有＝(3＋3，－5－3，3－1)＝(6，－8，2)． 同理＝(3，－4，1)，＝(10，1，8)，＝(7，5，7)． 因为(6，－8，2)＝2(3，－4，1)， 所以＝2， 则∥，且||≠||. 又与不共线， 所以四边形ABCD是梯形． 根据向量的坐标，得到向量间存在数乘关系，进而得到四边形一组对边平行且不相等，所以是梯形．　　 即时练2.求证：A(3，0，5)，B(2，3，0)，C(0，5，0)，D(1，2，5)四点共面． 证明：　∵A(3，0，5)，B(2，3，0)， ∴＝(－1，3，－5)． ∵C(0，5，0)，D(1，2，5)， ∴＝(1，－3，5)， ∴∥，又AB与CD不共线， 所以A、B、C、D四点共面． 角度三　利用向量的平行求点的坐标 如图，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线AB上，＝λ，λ为实数且λ≠－1，求点M的坐标． 解析：　M(x，y，z)为直线AB上的点，则 ＝(x－x1，y－y1，z－z1)， ＝(x2－x，y2－y，z2－z)． 由已知＝λ， 得(x－x1，y－y1，z－z1) ＝λ(x2－x，y2－y，z2－z)． 因而x－x1＝λ(x2－x)⇒x＝， y－y1＝λ(y2－y)⇒y＝， z－z1＝λ(z2－z)⇒z＝. 因此点M的坐标