2.3.1 空间向量的分解与坐标表示-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

2．3　空间向量基本定理及坐标表示 2．3.1　空间向量的分解与坐标表示 [学习目标]　1.理解共面向量的概念并掌握共面向量定理.2.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.3.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 知识点一　共面向量 [问题导引]　已知平面内任意不共线的向量a，b，对于这个平面内的任意向量p能否用向量a，b表示？怎样表示？ 提示：　能；根据平面向量基本定理得，存在唯一的有序数组{x，y}，使得p＝xa＋yb. 1．共面向量 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 点拨：　空间中任意两个向量一定共面． 2．三个向量共面的充要条件 如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xe1＋ye2． 推论1：空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数组(x，y)，使得＝x＋y. 推论2：对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，则四点P、A、B、C共面． 点拨：　三个向量共面的充要条件等价于空间中的任一向量可以用不共线的向量唯一表示．推论1、2是证明四点共面的一个依据． 如图，斜三棱柱ABC­A′B′C′中，设＝a，＝b，＝c.在AC′和BC上分别取点M和N，使＝k，＝k(0≤k≤1)． 求证：与向量a和c共面． 证明：　因为＝k ＝k(＋)＝k(b＋c)， ＝＋ ＝a＋k ＝a＋k(－) ＝a＋k(b－a) ＝(1－k)a＋kb， 所以＝－ ＝(1－k)a＋kb－kb－kc ＝(1－k)a－kc. 因此与向量a和c共面． 通过共面向量定理的应用，用不共线的向量a，c去线性表示，所以三个向量共面．　　 即时练1.如图，已知平行四边形ABCD，过平面ABCD外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k.求证：E，F，G，H四点共面． 证明：　因为＝＝＝＝k， 所以＝k，＝k，＝k，＝k. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋. 因此＝－＝k－k＝k ＝k(＋)＝k(－＋－) ＝－＋－＝＋. 由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． 学生用书第53页 知识点二　空间向量基本定理 [问题导引]　在平行六面体ABCD­A1B1C1D1，已知＝a，＝b，＝c，结合前面学习的线性运算的知识，如何用a，b，c表示向量？在图中任找一个向量p，是否都能用a，b，c来表示？表示唯一吗？ 提示：　＝a＋b＋c；是；表示唯一． 1．空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1＋ye2＋ze3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 点拨：　空间向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由三个不共面向量唯一地线性表示，为空间向量的坐标表示奠定了基础． 2．基：我们把{e1，e2，e3}叫作空间的一组基，e1，e2，e3都叫作基向量．(x，y，z)为p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标． 点拨：　(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同． (2)一组基是一个向量组，一个基向量是指基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 如图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，G为△A′BD的重心．设＝a，＝b，＝c，以a，b，c为一组基，求，在这组基下的坐标． 解析：　在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中， ＝＋＋＝a＋b＋c. 因为G为△A′BD的重心， 所以＝×(＋) ＝(－＋－) ＝(a＋b－2c) ＝a＋b－c. ＝＋＝c＋(a＋b－c)＝a＋b＋c. 因此和在基{a，b，c}下的坐标分别为(1，1，1)，(，，)． 用基把向量线性表示，那么向量在基下的坐标就可以求出．　　 即时练2.已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基． 解析：　假设，，共面． 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面，∴{，，}可以作为空间的一组基． 即时练3.在平