2.1 空间直角坐标系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

2．1　空间直角坐标系 2．1.1　建立空间直角坐标系　2.1.2　空间两点间的距离 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标.3.理解并掌握空间两点间的距离． 知识点一　建立空间直角坐标系 [问题导引1]　在一条直线上可以建立数轴，将每点的位置用一个实数x表示．在一个平面上可以建立平面直角坐标系，将每点的位置用两个实数组成有序数对(x，y)来表示．在空间中怎样表示每个点的位置呢？ 提示：　建立空间直角坐标系，建立点的位置与有序数组(x，y，z)之间的对应关系． [问题导引2]　在给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？为什么？ 提示：　是．在给定的空间直角坐标系下，给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应． 1．空间直角坐标系：从空间取一定点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴，y轴，z轴，这样就建立了空间直角坐标系O­xyz，点O叫坐标原点，x轴、y轴、z轴叫坐标轴，这三条坐标轴中每两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面．它们把空间分成八个部分． 点拨：　右手直角坐标系是指伸出右手，让四指与大拇指垂直，四指指向x轴正方向，四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，大拇指指向为z轴正方向，所建立的坐标系为右手系；高中阶段所用的空间直角坐标系都是右手直角坐标系． 2．空间直角坐标系中的坐标 有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标． 点拨：　若点P不在三个坐标平面内，则过点P分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，依次交x轴，y轴，z轴于点A，B，C．设交点A，B，C分别代表唯一的实数x，y，z，那么点P对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)；反过来，给定有序实数组(x，y，z)，我们可以在x轴，y轴，z轴上依次选取坐标为x，y，z，的点A，B，C，过这三个点分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，则这三个平面唯一的交点就是有序实数组(x，y，z)所确定的点P.这样就建立了空间中点P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系． 3．空间直角坐标系中特殊点、对称点的坐标 (1)在空间直角坐标系中，原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z). (2)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)，则点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)；点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)；点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)；点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)；点P关于坐标平 学生用书第40页 面xOy的对称点是P5(x，y，－z)；点P关于坐标平面yOz的对称点是P6(－x，y，z)；点P关于坐标平面xOz的对称点是P7(x，－y，z)． 点拨：　熟记特殊位置上点的坐标、点的对称点的坐标，为以后求点的坐标作准备． 角度一　在空间直角坐标系中标点 在空间直角坐标系中，描出下列各点： (1)A(0，0，4)； (2)B(3，－3，0)； (3)C(1，2，3)． 解析：　根据坐标与点的对应关系，描出各点，可得下图． 给定有序实数组(x，y，z)，我们可以在x轴，y轴，z轴上依次选取坐标为x，y，z的点A，B，C，过这三个点分别作垂直于x轴，y轴，z轴的平面，则这三个平面唯一的交点就是有序实数组(x，y，z)所确定的点P.　　 即时练1.在空间直角坐标系O­xyz中，作出下列8个点：(1，1，1), (1，1，－1), (1，－1，1), (1，－1，－1)，(－1，1，1), (－1，1，－1), (－1，－1，1), (－1，－1，－1)． 解析：　如图，以坐标原点O为中心作棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，其中与x轴垂直的平面ABB1A1，与y轴垂直的平面BCC1B1，与z轴垂直的平面ABCD，则B1(1，1，1)，B(1，1，－1)，A1(1，－1，1)，C1(－1，1，1)，C(－1，1，－1)，D1(－1，－1，1)，A(1，－1，－1)，D(－1，－1，－1)． 角度二　建立适当的坐标系求点的坐标 长方体ABCD­A′B′C′D′的长、宽、高分别为|AB|＝8，|AD|＝3，|AA′|＝5.建立适当的空间直角坐标系