1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

1.3.3　三次函数的性质：单调区间和极值 [学习目标]　1.理解并掌握三次函数的图象、单调区间与极值.2.了解函数的最大(小)值的概念，能够区分极值与最值.3.能利用导数求某些函数给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值.4.体会导数与最大(小)值的关系，掌握其应用． 知识点一　 三次函数的单调性与极值 [问题导引1]　用配方法和导数法探讨二次函数的性质，哪种方法更为简便快捷？ 提示：　导数法． [问题导引2]　三次函数的单调性如何探究？ 提示：　因为三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点容易求出，所以通过导数方法可以了解三次函数的增减变化和极值(点)． 三次函数的单调性与图象 F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c， ①当a>0时，Δ＝4b2－12ac≤0，F′(x)≥0，所以F(x)在R上单调递增．图象：全增； ②当a>0时，Δ＝4b2－12ac>0，设F′(x)＝0的根为x＝u，x＝v，所以F(x)在(－∞，u)上单调递增，(u，v)上单调递减，(v，＋∞)上单调递增．图象：先增后减再增； ③当a<0时，Δ＝4b2－12ac≤0，F′(x)≤0，所以F(x)在R上单调递减．图象：全减； ④当a<0时，Δ＝4b2－12ac>0，设F′(x)＝0的根为x＝u，x＝v，所以F(x)在(－∞，u)上单调递减，(u，v)上单调递增，(v，＋∞)上单调递减．图象：先减后增再减． 点拨：　三次函数的导函数是二次函数，所以需要对二次函数的开口方向和Δ进行分类讨论，得到三次函数的四种图象． 求下列函数的单调区间和极值． (1)f(x)＝x3－x2＋2x＋1； (2)h(x)＝－2x3＋9x2－12x＋5. 解析：　(1)因为f′(x)＝3x2－2x＋2 ＝3(x－)2＋， 所以f′(x)恒为正，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)没有极值． (2)h′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)． 令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2. 1和2将区间(－∞，＋∞)分为三个区间，列表如下： x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞) h′(x) － 0 ＋ 0 － h(x) 递减 极小值0 递增 极大值1 递减 故h(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递减，在(1，2)上单调递增，因而极大值为1，极小值为0. 步骤：(1)定义域；(2)求导；(3)求导函数的正负区间，表格展示；(4)结论．　　 即时练1.求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值． 解析：　因为 f(x)＝x3－4x＋4 的定义域为R，所以f′(x)＝x2－4 ＝(x＋2)(x－2)， 令f′(x)＝0，解得：x1＝－2，x2＝2. 当x变化时，f′(x), f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，极大值为f(－2)＝； 当x＝2时，f(x)有极小值，极小值为f(2)＝－. 学生用书第29页 知识点二　函数的最值 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数y＝f(x)的极大(小)值点，那么在x＝x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y＝f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y＝f(x)在此区间上所有的函数值． [问题导引1]　函数y＝f(x)在区间[a，b]的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？ 提示： 　极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)． [问题导引2]　那么f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值呢？ 提示：　最大值：f(a)；最小值：f(x3)． [问题导引3]　观察在[a，b]上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 提示：　最大值：f(b)；最小值：f(a)；最大值：g(x3)；最小值：g(x4)． 1．函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么该函数在[a，b]上必有最大值和最小值． 点拨：　曲线的连续性是函数有最值的充分必要条件． 2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(