1.3.2 函数的极值与导数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

1．3.2　函数的极值与导数 [学习目标]　1.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，并把形成的解题方法应用于其他函数问题中.3.体会导数方法在研究函数极值时的一般性和有效性． 知识点　极值点与极值 [问题导引1]　如图，观察函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点的附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ 提示：　由图可得，函数y＝f(x)在点g、e、i处的函数值比附近的函数值大，在点g、e、i处的导数值是0，在点g、e、i左边导数的符号是正号，右边导数的符号是负号；在点d、f、h处的函数值比附近的函数值小，在点d、f、h处的导数值是0，在点d、f、h左边导数的符号是负号，右边导数的符号是正号．综上所述，结论是：函数y＝f(x)在点g、e、i处的函数值比附近的函数值大，在点g、e、i处的导数值是0，在点g、e、i左边导数的符号是正号，右边导数的符号是负号；在点d、f、h处的函数值比附近的函数值小，在点d、f、h处的导数值是0，在点d、f、h左边导数的符号是负号，右边导数的符号是正号． [问题导引2]　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？ 提示：　函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值和极小值可能不止一个． [问题导引3]　若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明． 提示：　不一定． 例如f(x)＝x3， 则f′(x)＝3x2， 则f′(0)＝0. ∵f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号， ∴f(x)＝x3是R上的增函数， ∴x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点． 故若某点处的导数值为零，那么，此点不一定是极值点． 1．极值点与极值 (1)极大值点与极大值 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，此时x0称为f(x)的一个极大值点． (2)极小值点与极小值 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，此时x0称为f(x)的一个极小值点． (3)极值点与极值 极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 点拨：　(1)对极值概念的理解 ①函数的极值是一个局部概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的． ②在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一，也可能不存在，并且极大值与极小值之间无确定的大小关系． ③函数f(x)在某区间上有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间上的极大值点与极小值点是交替出现的． 学生用书第24页 (2)极值与极值点辨析 ①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标． ②极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点． 2．驻点：若f′(c)＝0，则x＝c叫作函数f(x)的驻点． 点拨：　极值点与导数为零的点(也称为驻点)的辨析： 可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点(驻点)不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． 3．函数极值的求法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 点拨：　(1)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同． (2)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点． (3)函数极值与函数单调性的关系：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近左侧单调递增，右侧单调递减，那么f(x0)是极大值． ②如果在x0附近左侧单调递减，右侧单调递增，那么f(x0)是极小值． 角度一　求函数的极值点 试求下列函数的驻点，判断函数的导数在驻点左右两侧附近的符号，并判断驻点是否为极值点． (1)f(x)＝x4；(2)f(x)