1.3.1 函数的单调性与导数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

1．3　导数在研究函数中的应用 1．3.1　函数的单调性与导数 [学习目标]　1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次)． 知识点　函数的单调性与导数的关系 在前面的学习中，我们通过图象、不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质．在本章前两节中我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题. [问题导引1]　判断函数单调性的方法有哪些？ 提示：　1.定义法；2.图象法；3.性质法：增＋增→增，减＋减→减，－增→减，复合函数的单调性同增异减． [问题导引2]　图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象．图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋4.8的图象，a＝，b是函数h(t)的零点． 运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 提示：　观察图象可以发现 (1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是单调递增，相应地，v(t)＝h′(t)>0. (2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)是单调递减，相应地，v(t)＝h′(t)<0. [问题导引3]　我们看到，函数h(t)的单调性与h′(t)的正负有内在联系，那么，我们能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？ 提示：　对于高台跳水问题，可以发现： 当t∈(0，a) 时，h′(t)>0，函数的图象是“上升”的， h(t)函数在(0，a)上单调递增； 当t∈(a，b) 时，h′(t)<0，函数的图象是“下降”的， h(t)函数在(a，b)上单调递减． [问题导引4]　观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数正负的关系． 提示：从导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系； 导数f′(x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率． 函数的单调性与导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 点拨：　函数的单调性与导数正负的关系：若y＝f(x)在区间(a，b)内，f′(x)＞0，则f(x)在区间(a，b)内单调递增，(a，b)为f(x)的单调递增区间；若y＝f(x)在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，(a，b)为f(x)的单调递减区间． 学生用书第20页 角度一　用导数研究函数的单调性 用导数研究二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的单调性． 解析：　对该二次函数求导得f′(x)＝2ax＋b. 令f′(x)＝2ax＋b>0，则 当a>0时，x>－，当a<0时，x<－. 令f′(x)＝2ax＋b<0，则 当a>0时，x<－，当a<0时，x>－. 故a>0时，f(x)在(－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增； a<0时，f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减． 判断函数y＝f(x)的单调性 第1步：确定函数的定义域； 第2步：求出导数f′(x)的零点； 第3步：用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．　　 即时练1.利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3＋3x； (2) f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)； (3)f(x)＝. 解析：　(1) 因为f(x)＝x3＋3x, 所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)>0， 所以f(x)＝x3＋3x，函数在R上单调递增，如图(1)所示： (2)因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π), 所以 f′(x)＝cos x－1<0， 所以f(x)＝sin x－x，函数在 (0，π)上单调递减，如图(2)所示： (3)因为f(x)＝1－， x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f′(x)＝>0， 所以函数f(x)＝1－，在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，如图(3)所示： 角度二　用导数求函数的单调区间 求函数f(x)＝x3－2x2＋x－1的单调区间． 解析：　对函数求导得f′(x)＝3x2－4x＋1. 令f′(x)＝3x2－4x＋1>0，则 x<或x>1.