《13.1.2 线段的垂直平分线的性质》课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

第 十 三 章 轴 对 称 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 某区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区 A、B、C之间修建一个购物中心,试问该购物中心应 建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等? 情三只引入 B C 探 线段垂直平分线的性质 索如图,直线l垂直平分线段AB,P,P,P,… 新 知一量线段P₁A,P₁B,P₂A,P₂B,P₃A,P₃B 请猜想点P,P,P, … P₁A = P₁B P₂A=P₂B P₃A= P₃B 是l上的点,请你量 的长,你能发现什么? 到点A 与点B 的距离之间的数量关系. 命题:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 猜想: 点P,P₂,P₂,… 到点A 与点B 的距离分别相等. 怎么证明这一结论呢? 探索新知 结求证: PA=PB. 论 证明:∵ L⊥AB ∠PCA=∠PCB 在 PCA和 PCB中, PC=PC ∠PCA=∠PCB AC=CB APCA 2A PCR(SAS) ∴PA=PB 已知:如图,直线l⊥AB, 垂足为C,AC=CB, 点P 在l 上 . 验 证 解析: ∵DE垂直平分AB ∴AD=BD ∵ DBC的周长为BC+ BD+CD=35cm ∴BC+ AD+CD=35cm ∵AC=AD+DC=20cm ∴BC=35-20=15(cm) 方法归纳: 利用线段垂直平分线的性质,实现线 段之间的相互转化,从而求出未知线段的长. 典 例1 如图,在 ABC中,AB=AC=20cm,DE 垂直平分AB, 垂足 精 为E, 交AC 于D, 若 DBC 的周长为35cm, 则BC 的长为(C) 析 A.5cm B.10cm C.15cm D.17.5cm 例 C B 2.如图②所示,在 ABC中 ,BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点 D, 交边AC于点E, BCE 的周长等于18cm, 则AC的长是10cm 练一练:1.如图①所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P 为 直线CD上的一点,且PA=5, 则线段PB 的长为 (B ) A.6 B.5 C.4 D.3 精析 典 例 图② 例2 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB和AB外一点C. 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作法: (1)任意取一点K, 使点 K和点C在AB的两旁. (3)分别以点 (2)以点C 为圆心, CK长为半径 作 弧 , 交 4B 于 点D 和 点E D和点E为圆心,大于∠DE 的长为半径作弧,两弧相交于点F. (4)作直线CF. 直线CF 就是所求作的垂线. 典例精析 想一想: 精 (1)为什么任意取一点K, 使 点K与点C 在直线两旁? 的长为半径作弧? (3)为什么直线CF 就是 所求作的垂线? 典例 例3 已知:如图,在 ABC 中,边AB,BC 求证: PA=PB=PC. 证明: ”点P在线段AB的垂直平分线MN上 .PA=PB 同理 PB=PC ∴PA=PB=PC 的垂直平分线交于P 典 例精析 三角形三边垂直平分线交于一点,这 一点到三角形三个顶点的距离相等. 三角形三边垂直平分线交于一点,这一点叫外心 归纳总结 现在你能想到方法确定购物中心的位 置,使得它到三个小区的距离相等吗? 探索新知 P R 典 例4 如图,在四边形ABCD 中 ,ADIBC,E 为CD 的中点,连接 精 AE 、BE,BE⊥ AE, 延长AE交BC的延长线于点F. 析 求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD. 在 ADE和 FCE中 ∠ADE=∠ECF DE=EC ∠AED=∠CEF ∴ ADE≌ FCE(ASA) ∴FC=AD (2)∵ ADE≌ FCE ∴AE=EF,AD=CF BE⊥AE ∴BE是线段AF的垂直平分线 证明:(1)∵ADIIBC ∴∠ADE=∠ECF ∵E是CD的中点 ∴DE=EC ∴AB=BF=BC+CF ”AD=CF ∴AB=BC+AD C F 例 B ∠PCA=∠PCB PC=PC ∵.Rt PCA≌Rt PCB(HL) L C ∴ A C = B C 又 ∵ P C ⊥ A B ∴ 点 P 在 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 上 Seead 证明:过点P 作AB 的垂线PC, 垂足为点C. 则∠PCA=∠PCB=90 在Rt PCA 和Rt PCB 中, PA=PB 那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢? 的垂直平分线上. 想一想:如果PA=PB, 已知:如图, PA=PB. 求证:点P 在线段AB P D 探 线段垂直平分线的判定 知 人 作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 应用格式: PA=PB ∴点P 在AB 的垂直平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条