2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、 不等式 典例解析 例1、若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，求a的值。 解析：由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根. ∴－7×(－1)＝ ，故a＝3. 题型二：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间对应关系的应用 随堂练习 1、 已知关于x的不等式x2－mx＋n≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数m、n的值. m =-4，n =-5 2、不等式x2+bx＋c>0的解集为{x|x>3或x<-1}，求b与c. b =-2，c =-3 3 0 3、若关于x的不等式ax2+bx＋2>0的解集为{x|-1<x<2}，则a+b=_____ 4、若关于x的不等式ax2+3x-2>0的解集为{x|1<x<b}，则a，b的值分别为________ 随堂练习 a=-1，b=2 4 5、已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2，且x1-x2=5 (1)求函数y=x2+mx-6(m>0)的解析式； (2)解关于x的不等式y<4-2x. 随堂练习 解：(1)由题意，得x2+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2， 故(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2+24=25 故m2=1，因为m>0，所以m=1 所以y=x2+x-6 5 5、已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2，且x1-x2=5 (1)求函数y=x2+mx-6(m>0)的解析式； (2)解关于x的不等式y<4-2x. 随堂练习 (2)由y<4-2x，得x2+x-6<4-2x 所以x2+3x-10<0，即(x+5)(x-2)<0 解得-5<x<2， 故不等式的解集是{x|-5<x<2} 6 新知探究 1、两边同除或同乘含参的式子时，应讨论含参的式子的符号． 练习1： 当a＞0时，关于x不等式ax＞a2的解是：________； 当a＜0时，关于x不等式ax＞a2的解是：________. 练习2： 当a＞0时，关于x不等式x2－ax＞0的解是：_______或______； 当a＜0时，关于x不等式x2－ax＞0的解是：______或_______． x＜a x＞a x＜0 x＞a x>0 x<a 典例解析 例2、解关于x的不等式：x(x－a－1)≥－a. 解析：原不等式化为(x－1)(x－a)≥0， 相应方程的两根为1，a，故应比较1与a的大小． ①当a＞1时，原不等式的解集为{x|x≤1，或x≥a}； ②当a＝1时，原不等式的解集为R； ③当a＜1时，原不等式的解集为{x|x≤a或x≥1}． 题型三：含参数一元二次不等式的解法 跟踪训练 1、解关于x的不等式x2－ax－2a2＜0. 分析：求出一元二次方程的两根2a，-a，比较两根的大小． 解析：方程x2－ax－2a2＝0的判别式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0， 得方程两根x1＝2a，x2＝－a， (1)若a＞0，则－a＜x＜2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}； (2)若a＜0，则2a＜x＜－a，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}； (3)若a＝0，则原不等式即为x2＜0，此时解集为. 综上所述，原不等式的解集为 当a＞0时，{x|－a＜x＜2a}； 当a＜0时，{x|2a＜x＜－a}； 当a＝0时，解集为. 9 跟踪训练 2、解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＞0. 解：当a=0时，原不等式可化为-x+1>0，即x<1， 当a<0时，原不等式可化为(ax-1)(x-1)>0， 10 典例解析 题型四：解分式不等式 例3、试解分式不等式 跟踪训练 变式：解不等式 12 归纳总结 跟踪训练 1、解分式不等式 14 跟踪训练 变式：解不等式 15 跟踪训练 2、写出下列不等式的解集: 16 新知探究 思考： 数形结合 一元二次不等式ax2+bx＋c>0的解集是R的条件是什么？ 一元二次不等式ax2+bx＋c<0的解集是的条件是什么？ 提示：令y=ax2+bx+c，由题意，知y>0恒成立，所以二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴无交点，所以应满足 提示：令y=ax2+bx+c，由题意，知y≥0恒成立，所以二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴相切或无交点，所以应满足 典例解析 例4、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围. 解：当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0满足条件， 所以a＝2时解集为R. 综上所述，a的取值范围为－2<a<2. 题型五：不等式恒成立问题 1、若关于x的不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a的取值范围是_________ 2、若关于x的一元二次不等式