12.3乘法公式第2课时 两数和(差)的平方课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

12.3 乘法公式 第2课时 两数和(差)的平方 掌握两数和(差)的平方公式的特点 ，会推导公式. 了解两数和(差)的平方公式的几何背景，体会数形结合的思想. 能正确地利用两数和(差)的平方公式进行计算，并学会应用公式解决问题. 学习目标 平方差公式： (a+b)(a-b)=a²-b². 多项式乘多项式： ( a + b )( m + n ) = 计算下列各题： (x+5)(x+5)=_________________=_____________. (2+a)(2+a)=___________________=_____________. (2m+1)(2m+1)=_____________________=___________. am+an+bm+bn. x·x+5x+5x+5×5 x2+10x+25 2×2+2a+2a+a·a 4+4a+a2 2m·2m+2m+2m+1×1 4m²+4m+1 温故知新 观察上述算式和运算结果，得: (a+b)2=(a+b)(a+b)=______________. 可以写成: (a + b)2 =a2 + 2ab + b2. 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 这个公式叫做两数和的平方公式. a2 +2ab+b2 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. 探究学习 b b a a 数形结合：用几何图形的面积来验证(a+b)2=a2+2ab+b2. 如图是一个边长为a的正方形，将边长扩大为(a+b) ，请你用等式表示图中图形面积关系. b b a a a a b b a a b b = + + ______________=_____________+_________________+______. (a+b)2 2ab b2 a2 例1 计算： (1)(2x+3y)2； (2)(2a+ )2. 解：(1)(2x+3y)2 =(2x)2+2·2x·3y+(3y)2 =4x2+12xy+9y 2 ；   你能用多项式的乘法法则推导出两数差的平方公式吗? (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2. 能不能利用两数和的平方公式来推导呢？ 我们注意到a-b =a+(-b)， 即(a-b)2 =[a+(-b)]2 =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2. 得到两数差的平方公式： (a-b)2=a2-2ab+b2. 这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. 这个公式叫做两数差的平方公式. 利用这个公式，可以直接计算两数差的平方. 你能用图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗？ b b a a 想一想： = - - 即_____________=____________-_______________+______. (a-b)2 2ab b2 a2 _______________=____________-_______________-______. (a-b)2 2(ab-b2) b2 a2 b b a a b b a a b b a a b b 例2 计算： (1)(3x-2y)2； (2) 解：(1)(3x-2y)2=(3x)2-2•3x•2y+(2y)2 =9x2-12xy+ 4y2； (2)解法1： 解法2： (2) 对于此题，你还有其他解法吗？ 解法3： 根据解法2和解法3我们发现： (a-b)2=(b-a)2. 首平方，尾平方，首尾两倍中间放. 归纳总结： 两数和的平方公式：(a+b)2 = a2+2ab+b2 . 两数差的平方公式：(a-b)2 = a2-2ab+b2 . 就是说，两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上 (减去)这两数乘积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 公式特点: 左边是二项式(两数和(差) )的平方; 右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 例3 已知a+b=2,ab=-1,求下面式子的值： (1)2a2+2b2； (2)(a-b)2. (2) 因为 (a-b)2=(a+b)2-4ab， 所以 (a-b)2 =22-4×(-1) =4+4 =8. 解：(1) 因为a2+b2=(a+b)2-2ab， 所以2a2+2b2=2(a2+b2) =2[(a+b)2-2ab] =2(a+b)2-4ab =2×22-4×(-1) =8+4=1