12.3.1 两数和乘以这两数的差 课件 2023--2024学年华东师大版八年级数学上册

12.3 乘法公式 第1课时 两数和乘以这两数的差 掌握两数和乘以这两数的差的公式，会推导这个公式. 了解两数和乘以这两数的差的公式的几何背景. 知道两数和乘以这两数的差的公式的特征，并能运用公式进行简单的计算. 学习目标 多项式乘多项式 ( a+b )( m+n ) = am +an +bm +bn 计算下列各题： (x+5)(x-5)=______________________=_________. (2+a)(2-a)=______________________=_________. (2m+1)(2m-1)=________________________=_________. x·x-5x+5x-5×5 x²-25 2×2-2a+2a-a·a 4-a² 2m·2m-2m+2m-1×1 4m²-1 温故知新 观察上述算式和运算结果，你发现了什么？ 等式左边为两个数的和与差的积； 等式右边为这两个数的平方的差. 根据上述规律，可以得到： (a+b)(a-b)=a²-b². 这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 探究学习 a b b 尝试：用几何图形的面积来验证 (a+b)(a-b)=a²-b². 一个边长为a的正方形，按左图的方式进行分割，去掉一个边长是b的正方形后，剩余部分拼接为长方形，请你用等式表示图中图形面积变化的运算. a b a a a b a b b b = - _____________________=____________________-________. (a+b)(a-b) a² b² 归纳总结： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 公式特点： 公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)． 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差. 例题精讲 例1 计算： (1)(a+3)(a-3). (2)(2a+3b)(2a-3b). (3)(1+2c)(1-2c). (4)(-2x-y)(2x-y). 解： (1) (a+3)(a-3) =a2-32 =a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b) =(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2. (4)(-2x-y)(2x -y) =(-y-2x)(-y +2x) =(-y)2 -(2x)2 =y2-4x2. 法二：(-2x-y)(2x-y) =-(2x+y)(2x-y) =-[(2x)2 -y2] =y2-4x2. (3) (1+2c)(1-2c) =12-(2c)2 =1-4c2. 你还有其他解法吗？ 例2 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪， 经统一规划后，南北向增加2米，东西向减少2米. 改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积. 解：(a+2)(a-2) = a2- 4. 答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米. 例3 简便计算：2 018 ×2 022. 解：2 018×2 022 =(2 020-2)×(2 020 +2) =2 0202-22 =4 080 400 -4 =4 080 396. 写成两数和乘以两数差的形式 总结：本题运用转化思想，关键是找到两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数和与这两数差的积的形式，再利用平方差公式求解． 根据平方差公式填空： (1)(-3a+2)(-3a-2)=(-3a)2-22=________； (2)(2x-3)(________)=4x2-9； (3)(________)(5a+1)=1-25a2. 下列运算正确的是(　　) A．(a+b)(b-a)=a2-b2 B．(2m+n)(2m-n)=2m2-n2 C．(xm+3)(xm-3)=x2m-9 D．(x-1)(x+1)=(x-1)2 9a2-4 2x+3 1-5a C 随堂练习 运用平方差公式计算： (1) 2 019×2 021-2 0202； (2) 1.03×0.97; (3) 99×101×10 001; (4) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1; (5) (a+b)2-(a-b)2; (6)   解： (1) 2 019×2 021-2 0202 =(2 020-1)×(2 020+1)-2 0202 =2 020