4.4对数函数13题型分类-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

4.4对数函数13题型分类 一、对数函数 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 对数函数的特征 (1)logax的系数是1； (2)logax的底数是不等于1的正数； (3)logax的真数仅含自变量x. 二、对数函数的图象和性质 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越大，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越小，图象越靠近x轴 三、反函数的概念 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域. 四、底数对对数函数图象的影响以及图象的特点 (1)对图象的影响：比较图象与直线y＝1的交点，此时直线y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． （一） 对数函数的概念 判断一个函数是对数函数的方法 题型1：对数函数的概念 1-1．（2023·全国·高一专题练习）判断正误 （1）对数函数的定义域为R．( ) （2）与都不是对数函数．( ) （3）对数函数的图象一定在y轴右侧．( ) 1-2．（2023·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023·全国·高一专题练习）已知x满足式子，求x. 1-4．（2023秋·高一课时练习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 （二） 对数型函数的定义域 （1）求对数型函数定义域的原则 ①分母不能为0. ②根指数为偶数时，被开方数非负． ③对数的真数大于0，底数大于0且不为1. ④若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形． (2)从始至今，给定解析式求定义域的限制条件如下: ①分母不为0; ②偶次方根下非负; ③中x≠0; ④对数的真数大于0; ⑤对数、指数的底a满足a>0且a≠1. (3)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式.　 题型2：对数型函数的定义域 2-1．（2023·高一课前预习）求函数的定义域. 2-2．（2023秋·高一课时练习）求函数的定义域． 2-3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的定义域 （1）； （2）函数 （3） 2-4．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 2-5．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知函数的定义域为，求实数的取值范围． （三） 与对数有关的函数的值域与最值问题 (1)求与对数函数相关的复合函数的值域(最值)，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围． (2)对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： ①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ②求f(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 题型3：与对数有关的函数的值域与最值问题 3-1．（2023秋·高一课时练习）已知函数.若的定义域为R，则实数a的取值范围是 ；若的值域为R，则实数a的取值范围是 . 3-2．（2023·高一课时练习）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2023秋·高一课时练习）已知函数 （1）若函数的定义域为，求的取值范围； （2）若函数的值域为，求的取值范围. 3-4．（2023秋·高一课时练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3-5．（2023春·重庆北碚·高二西