第三章 章末综合提升-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

题型一　分类加法计数原理的应用 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ [思路点拨]　根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． 解析：　方法一：分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个． 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个). 方法二：按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 方法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出： 12，13，14，15，16，17，18，19， 23，24，25，26，27，28，29， 34，35，36，37，38，39， 45，46，47，48，49， 56，57，58，59， 67，68，69， 78，79， 89. 共有36个符合题意的两位数． (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事； (2)利用分类加法计数原理解题的一般思路 即时练1.高二(1)班有学生50人，男生30人；高二(2)班有学生60人，女生30人；高二(3)班有学生55人，男生35人． (1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？ (2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 解析：　(1)选一名学生有3类不同的选法： 第一类，从高二(1)班选一名，有50种不同的方法； 第二类，从高二(2)班选一名，有60种不同的方法； 第三类，从高二(3)班选一名，有55种不同的方法． 故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法． (2)选一名学生任学生会体育部长有3类不同的选法； 第一类，从高二(1)班男生中选有30种不同的方法； 第二类，从高二(2)班男生中选有30种不同的方法； 第三类，从高二(3)班女生中选有20种不同的方法． 故选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同选法． 题型二　分步乘法计数原理的应用 已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？ [思路点拨]　确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决． 解析：　完成表示不同的圆这件事，可以分为三步： 第一步：确定a有3种不同的选取方法； 第二步：确定b有4种不同的选取方法； 第三步：确定r有2种不同的选取方法． 由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个). 利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 即时练2.由数字0，1，2，3这四个数字，可组成多少个： (1)无重复数字的三位数？ (2)可以有重复数字的三位数？ (3)无重复数字的三位偶数？ 解析：　(1)分三步完成： 第一步，排百位，1，2，3三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步，排十位，除百位上已用的，其余三个数都可以，有3种不同的方法；第三步，排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数都可以，有2种不同的方法．依据分步乘法计数原理，可组成无重复数字的三位数共3×3×2＝18(个). (2)分三步完成： 第一步，排百位，1，2，3这三个数字都可以，有3种不同的方法；第二步，排十位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法；第三步，排个位，0，1，2，3这四个数字都可以，有4种不同的方法．依据分步乘法计数原理，可组成有重复数字的三位数共3×4×4＝48(个). (3)分两类完成： 第一类，个位数字是0，再分步，十位数字有3种选法，百位数字有2种选法，共有3×2＝6(种)方法；第二类，个位数字是2，再分步，百位数字有2种选法，十位数字有2种选法，共有2×2＝4(种)方法．依据分类加法计数原理，可组成无重复数字的三位偶数共6＋4＝10(个). 题型三　两个计数原理的简单综合应用 现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，现召开高一年级座谈会，推选两人做会中发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？ [思路点拨] 解析：　分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一