第三章 3.2 3.3 第2课时 二项式系数的性质与杨辉三角-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

第2课时　二项式系数的性质与杨辉三角 [课标解读]1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用.2.理解和初步掌握赋值法及其应用.3.了解杨辉三角4.能应用二项式定理解决问题． 知识点一　二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C＝C) 增减性 当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，中间一项取得最大值Cn 当n是奇数时，中间两项相等，同时取得最大值 各二项式 系数的和 C＋C＋C＋…＋C＝2n C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 (1)赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字母赋的值为0，1或－1； (2)对于2n＝C＋C＋C＋…＋C，也可以从集合的角度解释．设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有C个，含1个元素的子集有C个，含2个元素的子集有C个……含n个元素的子集有C个，故所有子集的个数为C＋C＋C＋…＋C＝2n. [警示]　(1)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解； (2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致． 知识点二　杨辉三角 1．杨辉三角：当n取自然数时，(a＋b)n展开的二项式系数可以排成下表的形式： (a＋b)0　　　　　　1 (a＋b)1　　　　　 1　1 (a＋b)2　　　　　1　2　1 (a＋b)3　　　　 1　3　3　1 (a＋b)4　　　1　4　6　4　1 (a＋b)5　　 1　5　10　10　5　1 ……… 这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，在西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”． 2．杨辉三角的性质： 杨辉三角至少具有以下性质： (1)每一行都是对称的，且两端的数都是1； (2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． (1)性质1与性质2实际上反映了组合数的下列性质：C＝1，C＝1，C＝C＋C； (2)二项式系数C，C，C，…，C，C，C是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 1．在(a＋b)10二项展开式中的二项式系数与第3项相同的项是(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．第8项 B．第7项 C．第9项 D．第10项 C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等来分析．] 2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　 ) A．1　　　 B．－1　　　 C．215　　　 D．315 B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.] 3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于(　　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 A　[由题意C＋C＋…＋C＝32. (ax＋1)n＝C(ax)n＋C(ax)n－1＋…C(ax)n－r＋…＋C. ∵a≠0，令x＝，则有C＋C＋…＋C＝2n. ∴2n＝32，∴n＝5.] 4．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋|a8|＝________． 解析：　由题意知|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋|a8|表示(1＋x)8的展开式中各项系数的和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＋|a8|＝28＝256. 答案：　256 5．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为____________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为____________． 解析：　因为(a＋b)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为Ca4b4＝70a4b4. 因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为Ca5b4＝126a5b4，Ca4b5＝126a4b5. 答案：　70a4b4　126a5b4与126a4b5 题型一　求展开式的系数和 (1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. [思路点拨]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． 解析：　(1)当x＝1时，等号左边为(1－2)7＝－1，等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝