第三章 3.2 3.3 第1课时 二项式定理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

3.2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略) 3．3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 [课标解读]1.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式.2.能解决与二项式定理有关的简单问题． 知识点　二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N＋称为二项式定理 二项式 系数 各项系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式 通项 Can－kbk是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项展 开式 Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋) 备注 在二项式定理中，如果令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn(n∈N＋) (1)展开式的特点：①展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n；②a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n； (2)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立．通过对a，b取不同的特殊值，可以使某些问题的解决更为方便； (3)Can－kbk是展开式的第k＋1项，该项的二项式系数是C，而不是C； (4)(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n的第k＋1项为Cbn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的． [警示] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关． 1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 B　[由二项式定理的公式特征可知n＝10.] 2．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．(a＋b)n展开式中共有n项 B．在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响 C．Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项 D．(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同 答案：　ABC 3．二项式(x＋2)6的展开式的第二项是(　　) A．60x4 B．12x5 C．12x D．60x2 B　[(x＋2)6展开式的通项为：Tk＋1＝Cx6－k·2k. 令k＝1，可得T2＝Cx5·21＝12x5.] 4．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答). 解析：　二项展开式的通项为Tk＋1＝C(－2)kxk，当k＝2时， x2的系数为C(－2)2＝60. 答案：　60 5．二项式(2x－)n的展开式共有7项，则n＝________；常数项为________． 解析：　由已知可得n＝6，所以二项式为， 则第r＋1项Tr＋1＝C(2x)6－r＝C×26－r(－1)r·x6－2r， 令6－2r＝0，解得r＝3，所以常数项为C×23×(－1)3＝－160 答案：　6　－160 题型一　二项式定理的正用和逆用 (1)求的展开式； (2)化简：C＋C·6＋C·62＋…＋C6n－1. [思路点拨]　(1)直接利用二项式定理展开即可；(2)为二项式定理的逆用，找好对应的a，b及n的值． 解析：　(1)方法一：＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C·3·＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二：＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝(1＋6)n＝C＋C·6＋C·62＋C·63＋…＋C·6n， ∴C＋C·6＋C·62＋…＋C·6n－1＝(C·6＋C·62＋…＋C·6n) ＝(C＋C·6＋C·62＋…＋C·6n－1)＝[(1＋6)n－1]＝(7n－1). 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开； (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 即时练1.(1)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________； (2)用二项式定理展开：. 解析：　(1)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－