第三章 3.1 习题课 简单的排列与组合问题-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

习题课　简单的排列与组合问题

[课标解读]1.能解决含有限制条件的排列、组合问题，掌握常见的类型及解决策略.2.能解决简单的排列、组合的综合问题．

1．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(　　 )

A．48       B．54     C．72       D．84

C　[根据题意，先将3名乘客进行全排列，有A＝6(种)排法，排好后，有4个空当，再将1个空位和余下的两个连续的空位插入4个空当中，有A＝12(种)方法，根据分步乘法计数原理，共有6×12＝72(种)候车方式．]

2．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有(　　 )

A．70种    B．72种    C．36种    D．12种

C　[甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，共有AA＝36种排法．]

3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　 )

A．C种               B．A种

C．AA种             D．CC种

D　[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]

4．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行．

(1)它们共能构成________个平行四边形；

(2)共有________个交点．

解析：　(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC＝1 260(个).

(2)第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC＝80(个).

答案：　(1)1 260　(2)80

5．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有

2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答).

解析：　方法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有CC＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有CC＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36(种)报法．

方法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法．由分步乘法计数原理得共有CA＝36种报法．

答案：　36

题型一　有限制条件的排列问题

用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

(1)六位奇数；

(2)个位数字不是5的六位数；

(3)不大于4310的四位偶数．

[思路点拨]　排数问题中，当个位数字是奇数时，则该数即为奇数，当个位数字为偶数时，该数即为偶数，注意0不能作首位．

解析：　(1)第一步，排个位，有A种排法；

第二步，排十万位，有A种排法；

第三步，排其他位，有A种排法．

故共有AAA＝288个六位奇数．

(2)方法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A个；

第二类，当个位不排0时，有AAA个．

故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个).

方法二：(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．

故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个).

(3)分三种情况，具体如下：

①当千位上排1，3时，有AAA个．

②当千位上排2时，有AA个．

③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个；

形如41××的有AA个；形如43××的只有4 310和4 302这两个数．

故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个).

数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论；

(2)常用方法：直接法、间接法；

(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理．

即时练1.喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判它们握手言和，准备合影留念(排成一排).

(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种不同的排法？

(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种不同的排法？

解析：　(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素与灰太狼、红太狼进行排列，排法种数为A.因为喜羊羊家族的四位成员交换顺序会产生不同排列，所以不同的排法共有AA＝144(种).

(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入喜羊羊家族的四位成员形成的空(包括两端)中，有A种排法，不同的排法共有AA＝480(种).

题型二　有限制条件的组合问题

(1)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有多少种．

(2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有多少种．

[思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”