第三章 3.1 3.1.3 组合与组合数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

3．1.3　组合与组合数 [课标解读]1.理解组合的概念，能正确写出一些简单问题的所有组合.2.理解组合数公式，能利用组合数公式进行计算和证明.3.能应用组合知识解决简单的实际问题． 知识点一　组合 1．组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 组合的概念中的两个要点 (1)取出对象，且要求n个对象是不同的； (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质． 2.排列与组合的联系与区别 联系：二者都是从n个不同的对象中取m(n≥m)个对象． 区别：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关，只有对象相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的对象相同，不论对象的顺序如何，都是相同的组合． 辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的对象与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个对象的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题． 知识点二　组合数 组合数 定义 从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示法 C 组合数 公式 乘积式 C＝ ＝ 阶乘式 C＝ 备注 ①n，m∈N*且m≤n；②规定：C＝1 (1)同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同对象中取m(m≤n)个对象合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同对象a，b，c中每次取出两个对象的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3； (2)对于组合数的第一个公式C＝＝，它体现了组合数与相应排列数的关系，当n确定而m变化时，组合数与m是一种函数关系，一般在计算具体的组合数时，常用此公式．第二个公式C＝的主要作用有：①当m，n较大时，利用此公式计算组合数较为简便；②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时，常用此公式． 1．(多选)下面几个问题中属于组合问题的是(　　) A．由1，2，3，4构成的双元素集合 B．5个队进行单循环足球比赛的分组情况 C．由1，2，3构成两位数的方法 D．由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法 AB　[AB取出元素与顺序无关，CD取出元素与顺序有关．] 2．(多选)判断下列命题中正确的为(　　) A．从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C B．从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C个积 C．1，2，3与3，2，1是同一个组合 D．C＝5×4×3＝60 答案：　BC　 3．若C＝C，则C＝(　　) A．380　　 B．190　　 C．18　　 D．9 B　[∵C＝C，∴n＝18，∴C＝C＝C＝＝190.] 4．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有________种不同选法．(　　) A．504 B．729 C．84 D．27 C　[只需从9名学生中选出3名即可，从而有C＝＝84种选法．] 5．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________． 解析：　甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3. 答案：　3 题型一　组合的概念 判断下列各事件是排列问题还是组合问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ [思路点拨]　观察取出的元素与顺序有关还是无关，从而确定是排列问题，还是组合问题． 解析：　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别． (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，有顺序的区别． (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别． 区分排列与组合的方法： 区分排列与组合，首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 即时练1.下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、