第三章 3.1 3.1.2 排列与排列数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

3.1.2　排列与排列数 [课标解读]1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明.3.能应用排列知识解决简单的实际问题． 知识点一　排列 1．排列的概念 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． 2．全排列 m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． (1)排列的定义中包含两个基本内容：一是“取对象”，二是“按照一定的顺序排列”．给出的n个对象是互不相同的，抽取的m个对象也是互不相同的； (2)一个排列就是完成一件事的一种方法；不同的排列就是完成一件事的不同方法； (3)在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面将要学习的组合的根本区别． 3．相同排列的两个条件 (1)组成排列的对象相同． (2)对象的排列顺序相同． [警示]　对象不完全相同或对象完全相同而排列顺序不同的排列，都不是同一个排列． 知识点二　排列数 1．从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． [警示]　(1)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同排列的个数”，它是一个数． (2)符号A中，总是要求n，m都是自然数，且m≤n. 2．排列数公式 排列数的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！ 规定 0！＝1，A＝1 性质 A＋mA＝A＋1 (1)排列数公式中连乘积的特点：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘； (2)A＝主要有两个作用：①当m，n较大时，可使用计算器快捷地算出结果； ②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式． 1．(多选)下列问题中属于排列的为(　　 ) A．10本不同的书分给10名同学，每人一本 B．10位同学互通一次电话 C．10位同学互通一封信 D．10个没有任何三点共线的点构成的线段 AC　[由排列的定义可知AC是排列，BD不是排列．] 2．18×17×16×…×12×11等于(　　) A．A　　 B．A　　 C．A　　 D．A A　[18×17×16×…×12×11＝＝＝A.] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　 ) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 C　[由排列定义得，共有A＝6种排列方法．] 4．A＝________，A＝________． 解析：　A＝4×3＝12；A＝3×2×1＝6. 答案：　12　6 5．已知A＝56，那么n＝________． 解析：　∵A＝56，∴n(n－1)＝56，解得n＝8或－7，∴n＝8. 答案：　8 题型一　排列的概念 判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． [思路点拨]　判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 解析：　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题． 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 即时练1.判断下列问题是否为排列问题． (1)从9种不同的小麦良种中选出4种，有多少种选法？ (2)从50件不同的产品中随机抽出5件来检查，有多少种不同的等可能结果？ (3)5个人互送贺年卡1张，共送了多少张贺年卡？ (4)从1，2，3，4，5中任取两个数相除； (5)10个车站，站与站间的车票． 解析：　(1)从9种不同的小麦良种中选出4种，与顺序无关，不是排列问题．(2)从50件不同的产品