第三章 3.1 3.1.1 第2课时 两个计数原理的应用-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

第2课时　两个计数原理的应用 [课标解读]1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题． 1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　) A．21种　　　　　　　　 B．315种 C．143种 D．153种 C　[可分三类．一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)；二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)；三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)，所以共有63＋45＋35＝143(种)不同选法．故选C.] 2．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　 ) A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．] 3．小张正在玩一款“种菜”的游戏，他计划从仓库里的豆角、白菜、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种． 解析：　当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案． 答案：　48 4．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种． 解析：　由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理共有2＋4＝6种不同走法． 答案：　6 题型一　两个计数原理在排数中的应用 从0，1，2，3，4，5这六个数字中取四个数字组成一个无重复数字四位数，问： (1)能组成多少个四位数？ (2)能被5整除的四位数有多少个？ [思路点拨]　(1)要完成的一件事是组成四位数，所以首位数字不能是0；(2)要使所组成的四位数能被5整除，则末位数字必须是0和5中的一个． 解析：　(1)第一步，千位上的数不能取0，只能取1，2，3，4，5，有5种选择； 第二步，由于千位取了一个数，还剩下5个数供百位取，所以有5种选择； 第三步，由于千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供十位取，所以有4种选择； 第四步，由于千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3个数供个位取，所以有3种选择． 根据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5×5×4×3＝300(个). (2)因为满足要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字只能是0或5. 第一类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有5×4×3＝60个满足要求的四位数； 第二类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有4种选择、4种选择、3种选择，所以有4×4×3＝48个满足要求的四位数． 根据分类加法计数原理，能被5整除的四位数共有60＋48＝108(个). 排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决．在有附加条件时，可能需要进行分类讨，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用. 即时练1.用0，1，2，3，…，9十个数字可组成不同的： (1)三位数________个； (2)无重复数字的三位数________个； (3)小于500且无重复数字的三位奇数________个． 解析：　(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个). (2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648个无重复数字的三位数． (3)小于500且无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：百位只能从1，2，3，4中选，个位必须为奇数，按百位分两类： 第一类，百位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，∴共有(4×8)×2＝64个． 第二类，百位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，∴共有(5×8)×2＝80个， 由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144个． 答案：　(1)900　(2)648　(3)144 题型二　两个计数原理在涂色和种植问题中的应用 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则有多少种不同的涂法？ 解析：　法一：第一步，先对区域A涂色，有6种涂色方法；第二步，区域B的涂色方法有5种；第三步，区域C的涂色方法有4种；第四步，给区域D涂色，需分两种情况：(1)若区域D，A同色，则有