第三章 3.1 3.1.1 第1课时 基本计数原理-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

3．1　排列与组合 3．1.1　基本计数原理 第1课时　基本计数原理 [课标解读]1.能正确理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”． 2．能利用两个原理解决一些简单的实际问题． 知识点一　分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． (1)应用分类加法计数原理需要明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；怎样才算完成这件事；完成这件事可以有哪些方法； (2)要明确完成这件事的n类办法是相互独立的；每一类办法中的方法都可以单独完成这件事，不需要用到其他的方法； (3)分类是利用分类加法计数原理的关键，分类必须明确标准：①每一种方法都必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；②每一类中的任意两种方法也不相同． [警示]　分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类．一般地，标准不同，分类的结果也不同． 知识点二　分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点： (1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； (2)完成每一步都有若干种方法； (3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点三　两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果(最后一步除外)，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各步都完成了，才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 联系 这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数 [警示]　在解决计数问题时，先分析是需要分类还是需要分步，分类应满足：完成一件事的任何一种方法必属于且仅属于其中某一类，即“类”与“类”之间满足确定性和并列性．分步应满足：完成一件事必须连续完成所有步骤，注意“步”与“步”之间的连续性． 1．已知椭圆＋＝1，若a∈{2，4，6，8}，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，则这样的椭圆有(　　) A．12个　　 B．16个　　 C．28个　　 D．32个 C　[根据题意，分4种情况讨论， (1)a＝2时，b有7种情况， (2)a＝4时，b有7种情况， (3)a＝6时，b有7种情况， (4)a＝8时，b有7种情况， 则一共有7＋7＋7＋7＝28种情况．] 2．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(　　) A．6种 B．12种 C．30种 D．36种 B　[∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门，∴由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3＝12种．] 3．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套 服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有(　　) A．24种 B．14种 C．10种 D．9种 B　[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式．] 4．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个． 解析：　第1步，确定数b，有6种不同取值；第2步，确定数a，也有6种不同取值．根据分步乘法计数原理，知共有虚数6×6＝36(个). 答案：　36 5．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条． 解析：　经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个，共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条． 答案：　12 题型一　分类加法计数原理的应用 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ [思路点拨]　根据情况安排个位、十位上的数字．先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． 解析：　方法一：分析个位数，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是7的