第四章 4.2 4.2.5 正态分布-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4.2.5　正态分布 [课标解读]1.了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． 知识点一　正态曲线 1．定义：函数φ(x)＝的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图像称为正态曲线(也因形状之故而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)). 2．性质 (1)正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形的面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 对正态曲线的性质的深层次理解 性质(1)说明函数φ(x)在x＝μ时取得最大值，且正态曲线都是单峰的．由性质(1)和(3)可以看出σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示．μ一定时，曲线的形状由σ确定，如图2所示． 图1　　　　　　　　　　图2 知识点二　正态分布 1．定义及表示：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差． 参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．正态分布的几个常用数据：如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%， P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.* 式子中X的取值是否包括端点不影响概率的值．一般考试时会给出相关数据，做题目时以题目给出的数据为准． 3.3σ原则 (*)式意味着，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”． [警示]　对小概率事件的理解： (1)小概率事件是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的； (2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%犯错的可能． 知识点三　标准正态分布 1．定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果Y～N(μ，σ2)，那么令X＝，则可以证明X～N(0，1)，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布． 2．标准正态分布下的概率分布：如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(X<a)，也就是说Φ(a)表示N(0，1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内的面积，如图所示： 3．性质：根据正态曲线的对称性，可以知道Φ(a)具有性质Φ(－a)＋Φ(a)＝1. 1．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．正态曲线是一条钟形曲线 B．函数p(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差 C．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的 D．正态曲线可以关于y轴对称 AD　[“钟形曲线”指的是当随机变量满足正态分布的标准绘制成一条线时所形成的类似钟形一个曲线，故A正确；正态曲线中参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计，故B错误；正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是1，故C错误；当μ＝0时，正态曲线关于y轴对称，D正确．] 2．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(　　 ) A．1 B．－1 C．0 D．不确定 C　[由正态曲线性质知均值为0.] 3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　 ) A． B． C． D． D　[由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝.] 4．若随机变量X～N(0，1)，则P(x＜0)＝________． 解析：　由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x＜0)＝. 答案：　 5．某地区数学考试的成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其密度曲线如图所示，正态分布密度函数为φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则