第四章 4.2 4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

第2课时　离散型随机变量的方差 [课标解读]1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 知识点　离散型随机变量的方差、标准差 1．定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差． 方差公式的常用变形 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn ＝(xp1＋xp2＋…＋xpn)－2(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)E(X)＋[E(X)]2·(p1＋p2＋…＋pn) ＝pi－2E(X)·E(X)＋[E(X)]2 ＝E(X2)－[E(X)]2. 2．意义：离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示． 一般地，称为离散型随机变量X的标准差． 它们两个都可以刻画随机变量X相对于均值E(X)的离散程度(或波动大小). (1)离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量相对于均值的离散程度，方差或标准差越小，离散型随机变量相对于均值的离散程度越小； (2)由离散型随机变量的方差的定义可知，离散型随机变量的方差与随机变量本身的单位不同，标准差与随机变量本身的单位相同． [辨析]　离散型随机变量的方差与样本方差的区别与联系 离散型随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的不同而变化，是客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差． 3.性质：D(aX＋b)＝a2D(X). [知识拓展] (1) 特例 均值 意义 a＝0 D(b)＝0 常数的方差等于0 a＝1 D(X＋b)＝D(X) 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b＝0 D(aX)＝a2D(X) 常数a与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 (2)常见分布的方差 随机变量X 方差公式 服从参数为p的 两点分布 D(X)＝p(1－p) X～N(n，P) D(X)＝np(1－p) X～H(N，n，M) D(X)＝ ＝E(X)· 1．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B．若a是常数，则D(a)＝0 C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度 D．离散型随机变量的方差与标准差的单位不相同 BCD　[方差反映了随机变量偏离期望的平均程度，方差越大，随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为0，故B正确；离散型随机变量的方差与标准差的单位不相同，故D正确．] 2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为(　　) A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝，D(X)＝ C．E(X)＝0，D(X)＝ D．E(X)＝，D(X)＝1 A　[由题意可得： E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0， D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.] 3．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7　　　　　　　 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 D　[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.] 4．已知随机变量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P 则ξ的均值为________，方差为________． 解析：　均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－； 方差D(ξ)＝×＋×＋×＝. 答案：　－　 5．已知随机变量Y只取a，1这两个值，且P(Y＝a)＝a，则当E(Y)取最小值时，D(Y)＝________． 解析：　因为随机变量Y只取a，1这两个值．且P(Y＝a)＝a，0＜a＜1，所以P(Y＝1)＝1－a，所以E(Y)＝a2＋1－a＝＋，所以当a＝时，E(Y)取最小值为，所以此时D(Y)＝×＋×＝. 答案：　 题型一　求随机变量的方差与标准差 (1)随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a c 若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________． (2)某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________． [思路点拨]　利用方差的计算公式求解即可． 解析：　(1)由题意可得解得因此，D(ξ)＝×＋×＋×＝. (2)依题意