第四章 4.2 4.2.2 离散型随机变量的分布列-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4．2.2　离散型随机变量的分布列 [课标解读]1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.3.理解两点分布，并能简单的运用． 知识点一　离散型随机变量的分布列 1．定义：一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称随机变量X的概率分布是已知的．离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2．分布列的图形直观表示： (1)离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是表格表示； (2)由离散型随机变量的分布列能一目了然地看出随机变量X的取值范围及取这些值的概率，可以全面了解随机变量X在随机试验中取值的概率分布情况，是进一步研究随机变量数字特征的基础． 3．性质： (1)pi≥0，i＝1，2，…，n (2)p1＋p2＋…＋pn＝1 (1)pi表示的是事件X＝xi发生的概率，因此每一个pi都是非负数； (2)因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的，因此p1＋p2＋…＋pn应该等于1； 另一方面，由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 知识点二　两点分布 定义：一般地，如果随机变量的分布列能写成如下形式(其中0<p<1)： W 1 0 P p 1－p 则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0－1分布). (1)两点分布中，随机试验X的取值只有两个可能性：0或1，且其概率之和为1； (2)由于一个所有可能结果只有两种的随机试验，通常称为伯努利试验，所以两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的p也常被称为成功概率． 1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C　[由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1.] 2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量 C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 A　[选项A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．] 3．随机变量X的分布列如下，则m等于(　　 ) X 1 2 3 4 P m A. B． C． D． D　[由分布列性质得＋m＋＋＝1，解得m＝.] 4．设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P a 则P(|X－3|＝1)＝________． 解析：　由＋a＋＋＝1，得a＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案：　 5．5个产品中有3个次品，每次从中取一个(取后不放回)，直到将3个次品都取出，记抽取次数为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是________． 解析：　3个次品都取出的抽取次数至少3次，最多取5次． 答案：　{3，4，5} 题型一　离散型随机变量的分布列 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率． [思路点拨]　(1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取值，并求出相应的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和． 解析：　(1)方法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝. 方法二　：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B，事件A和事件B是对立事件． 因为P(B)＝＝，所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝. (2)由题意，X所有可能的取值为2，3，4，5. P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝. 所以随机变量X的概率分布列为： X 2 3 4 5 P (3)记“一次取球得分介于20分到40分之间”为事件C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 求离散型随机变量分布列的步骤 注意：根据分布列的