第四章 4.2 4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教B版）

4．2　随机变量 4．2.1　 随机变量及其与事件的联系 [课标解读]1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.会用离散型随机变量描述随机现象． 知识点一　随机变量 1．定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为随机变量． 2．表示：随机变量常用大写字母X，Y，…或小写希腊字母ξ，η，ζ…表示． 在引入了随机变量之后，可以利用随机变量来表示事件． 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥； (2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1. 在用随机变量表示事件及事件的概率时，有时可不写出样本空间． 知识点二　离散型随机变量 1．定义：取值为有限个或可以一一列举出来的随机变量． 离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1，2，…，n；也可以是无限个，如取值为1，2，…，n，… [拓展延伸]离散型随机变量的特征： (1)可用数值表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值； (3)试验之前不能确定取何值； (4)试验结果能一一列出． 2．连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，一般来说，连续型随机变量可以在某个实数范围内连续取值. 知识点三　随机变量之间的关系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b). 1(多选)下列说法正确的是(　　) A．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个 B．在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量 C．随机变量是用来表示不同试验结果的量 D．在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值 ABCD　[A.因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．B.因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.C.因为由随机变量的定义可知，该说法正确．D.因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．] 2.(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．某宾馆每天入住的旅客数量是X B．某人在车站等出租车的时间 C．一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量 D．某网站未来1小时内的点击量 AD　[对于A，随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它是离散型随机变量；对于B，无法按一定次序一一列出；对于C，一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是随机变量，但所有可能取值在直线上连续，故不是离散型随机变量；对于D，某网站未来1小时内的点击量X是一个随机变量，且X为自然数，故X是离散型随机变量．] 3．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(　　) A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．两颗都是4点 D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 D　[抛掷一颗骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而ξ表示抛掷两颗骰子所得到的点数之和，ξ＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以ξ＝4表示的随机试验的结果是一颗是1点、另一颗是3点或者两颗都是2点，即若将两颗骰子的点数记为(x，y)，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是(1，3)，(3，1)，(2，2).] 4．①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X；②南京长江大桥一天经过的车辆数为X；③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X. 其中是离散型随机变量的是________．(请将正确的序号填在横线上) 解析：　∵②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量； ∵①中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量；而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，∴均不是离散型随机变量． 答案：　①②④ 5．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是________． 解析：　三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值构成的集合为{6，3，0，－3}． 答案：　{6，3，0，