4.4 数学归纳法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

4 ．4* 数学归纳法 ► 对应学生用书 P40 课程标准 核心素养 1. 了解数学归纳法的原理． 2 ．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命 题． 1.数学抽象：了解数学归纳法的原理． 2．逻辑推理：能用数学归纳法证明中项等式、 不等式及整除的一些简单命题． 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 数学归纳法的理解 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n ＝n0(n0 ∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n ＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立 ”为条件，推出“ 当 n ＝k＋1 时命题 也成立 ”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立，这种证明方 法称为数学归纳法． [提醒] 初始值 n0 选择不一定是 1 ，要结合题意恰当的选择. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”，错误的打“ × ”). (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设．( ) (3)用数学归纳法证明等式时，由 n ＝k 到 n ＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项．( ) (4)用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3) ＝ (n ∈N*) ，验证 n ＝1 时，左边应取的项是 1＋2＋3＋4.( ) 答案：(1)× (2)× (3) √ (4) √ 2 ．在数列{an }中，an ＝1 － ＋ － ＋…＋ － ，则 ak＋1 等于( ) ( 2 k ＋ 1 )A ．ak ＋ 1 ( 2 k ＋ 2 2 k ＋ 4 2 k ＋ 2 )B ．ak ＋ 1 － 1 C ．ak ＋ 1 ( 2 k ＋ 1 2 k ＋ 2 )D ．ak ＋ 1 － 1 解析：选 D.a1 ＝1 － ak ＝1 － ＋ － + , a2 ＝1 － ( 2 k － 1 )…+ 1 + － ，… , an ＝1 － ＋ - ，所以 ak＋1 ＝ak ＋ - +…+ － ， ( 2 k ＋ 2 . )- 1 3 ．某个与正整数有关的命题：如果当 n ＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当 n ＝k＋1 时该命题也成立．现已知 n ＝5 时命题不成立，那么可以推得( ) A ．当 n ＝4 时命题不成立 B ．当 n ＝6 时命题不成立 C ．当 n ＝4 时命题成立 D ．当 n ＝6 时命题成立 解析：选 A. 因为当 n ＝k(k∈N*)时命题成 立，则可以推出当 n ＝k＋1 时该命题也成立，所以假设当 n ＝4 时命题成立，那么 n ＝5 时命题也成立，这与已知矛盾，所以当 n ＝4 时命题不成立. 4．用数学归纳法证明关于 n 的恒等式，当 n ＝k 时，表达式为 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1) ＝k(k＋1)2 ，则当 n ＝k＋1 时，表达式为 ． 解析： 当 n ＝k＋1 时， 表达式左侧为 1×4＋2×7+…+k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)， 表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2， 则当 n ＝k＋1 时，表达式为 1×4＋2×7+…+k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4) ＝(k＋1)(k＋2)2. 答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4) ＝(k＋1)(k＋2)2 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一__数学归纳法的理解 【 例 1 】 (1) 用 数 学 归纳法证 明 不等 式 2n>(n ＋ 1)2(n ∈N*) 时 ， 初始值 n0 应 等 于 ． ____________ 解析： 由题意，得当 n ＝1 时，21<(1＋1)2； 当 n ＝2 时，22<(2＋1)2； 当 n ＝3 时，23<(3 +1)2； 当 n ＝4 时，24<(4＋1)2； 当 n ＝5 时，25<(5＋1)2； 当 n ＝6 时，26>(6＋1)2 ，所以用数 学归纳法证明不等式 2n>(n＋1)2(n ∈N*)时，初始值 n0 应等于 6. 答案：6 (2)用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－ 1 ＝2n－1(n ∈N*)的过程如下： ①当 n ＝1 时，左边＝1 ，右边＝21－1 ＝1 ，等式成立． ②假设当