4.3.1 第2课时 等比数列的性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第 2 课时 等比数列的性质 ► 对应学生用书 P26 课程标准 核心素养 1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性 质，并能运用这些性质简化运算. 2 ．能在具体的问题情境中，发现数列的等比 关系，并解决相应的问题. 1.逻辑推理：理解等比数列的通项公式推广形 式及变形 2 ．数学运算：能利用等比数列相关性质简化 计算. 高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an }的公比为 q ，则 an ＝a1 ·qn－ 1 ① =am ·qn－m ② = ·qn. ③ 其中，当②中 m ＝1 时，即化为①. 当③中 q>0 且 q≠1 时，y ＝ ·qx 为指数函数. 二、等比数列常见性质 设数列{an }为等比数列，则： (1)若 k＋l ＝m ＋n(k，l ，m ，n ∈N*) ，则 ak ·al ＝am ·an . (2)若 m，p ，n 成等差数列，则 am ，ap ，an 成等比数列. [拓展延伸] (1)性质的推广：若 m ＋n＋p ＝x＋y＋z，有 amanap ＝axayaz； (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同； (3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即 a1 ·an ＝a2 ·an－1 ＝ …. 三、由等比数列衍生的新等比数列 1．在等比数列{an }中，每隔 k 项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍 为等比数列. 1 2 ．若{an }是等比数列，公比为 q ，则数列{λan }(λ≠0)，an ，{an (2) }都是等比数列，且公 比分别是 q， ，q2. an 3 ．若{an } ，{bn }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和 q ，那么{anbn }与 b n 也都是 等比数列，公比分别为pq 和 . [提醒] 在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为 0 ， 比如公比 q ＝－1 时， 连续相邻偶数项的和都是 0 ，故不能构成等比数列. 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”, 错误的打“ × ”). (1)知道等比数列的某一项和公比，可以计算等比数列的任意一项．( ) (2)若{an }为等比数列，且 m ＋n＝p(m ，n，p∈N*) ，则 am ·an ＝ap.( ) (3)若{an } ，{bn }都是等比数列，则{an＋bn }是等比数列．( ) (4)若数列{an }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an }是等比数列．( ) 答案：(1) √ (2)× (3)× (4)× 2 ．已知{an } ，{bn }都是等比数列，那么( ) A ．{an＋bn } ，{anbn }都一定是等比数列 B ．{an＋bn }一定是等比数列，但{anbn }不一定是等比数列 C ．{an＋bn }不一定是等比数列，但{anbn }一定是等比数列 D ．{an＋bn } ，{anbn }都不一定是等比数列 解析：选 C. 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两 个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列. 3 ．已知等比数列{an }共有 10 项，其中奇数项之积为 2 ，偶数项之积为 64 ，则其公比是 ( ) A ． B ． C ．2 D ．2 解析：选 C.奇数项之积为 2 ，偶数项之积为 64 ，得 a1a3a5a7a9 ＝2 ，a2a4a6a8a10 ＝64 ，则 a2a4a6a8a10 a1a3a5a7a9 =q5 ＝32 ，则 q ＝2. 4 ．在等比数列{an }中，已知 a3 ＝1 ，a5 ＝4 ，a12 ＝8 ，则 a10 = . 解析： 由 a3a12 ＝a5a10 得 1×8 ＝4a10 ，解得 a10 ＝2. 答案：2 高效导学第二步—— 典例探究，提升关键能力 题型一__由等比数列构造新等比数列 【例 1】 如果数列{an }是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是( ) A ． B ． {3} C ．{an ·an＋1} D ．{an ＋an＋1