4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

4 ．3 等比数列 ► 对应学生用书 P21 4 ．3. 1 等比数列的概念 第 1 课时 等比数列的概念及通项公式 课程标准 核心素养 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和 通项公式的意义. 2 ．体会等比数列与指数函数的关系. 1.数学抽象：理解等比数列的概念，掌握等比 中项的概念. 2．逻辑推理：会判定与证明数列为等比数列. 3 ．数学运算：会利用公式求等比数列的通项 公式. 高效导学第一步 梳理教材，必备基础知识 一、等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么 这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q≠0) . [提醒] (1)定义的符号表示： ＝q(n ∈N* 且 n ≥2)或 ＝q(n ∈N*)； (2)定义强调“从第 2 项起 ”， 因为第一项没有前一项； (3)比必须是同一个常数； (4)等比数列中任意一项都不能为 0； (5)公比可以为正数、负数，但不能为 0. 二、等比中项 等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ，G ，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，此时，G2 ＝ab . [提醒] (1)若 G2 ＝ab ，则 a ，G ，b 不一定成等比数列； (2)只有同号的两个实数才有等比中项； (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 三、等比数列的通项公式 若等比数列{an }的首项为 a1 ，公比为 q ，则 an ＝a1qn－ 1(n ∈N*)． [拓展延伸] 等比数列的通项公式与函数的关系 1 ．当 q>0 且 q≠1 时，等比数列{an }的第 n 项 an 是指数型函数f(x) ＝ ·qx(x ∈R)当 x ＝n 时的函数值，即 an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x) ＝kax(k，a 是常数，k≠0，a>0 且 a ≠1)，则f(1) ＝ka，f(2) ＝ka2，…， f(n) ＝kan ， …构成一个等比数列{kan } ，其首项为 ka ，公比为 a. 3 ．等比数列的单调性 (1)a1>0 ，q>1 时，数列{an }为正项的递增等比数列； (2)a1>0 ，0<q<1 时，数列{an }为正项的递减等比数列； (3)a1<0 ，q>1 时，数列{an }为负项的递减等比数列； (4)a1<0 ，0<q<1 时，数列{an }为负项的递增等比数列； (5)q ＝1 时，数列{an }为常数列； (6)q<0 时，数列{an }为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 【基础自测】 1 ．思考辨析(正确的打“ √ ”，错误的打“ × ”)． (1)等比数列中的项不能为 0.( ) (2)等比数列的公比的取值范围是 R. ( ) (3)若一个常数列是等比数列，则公比为 1.( ) (4)22 ，42 ，62 ，82 ， …成等比数列．( ) 答案：(1) √ (2)× (3) √ (4)× 2 ．(多选)已知 a 是 1 ，2 的等差中项，b 是－1 ，－16 的等比中项，则 ab 等于( ) A ．6 B ．－6 C ．－12 D ．12 解析：选 AB. ∵a ＝ ＝ ，b2 ＝(－1)×(－16) ＝16 ，b = ±4 ， ∴ab = ±6. 3 ．在数列{an }中，如果 an ＝32－n(n ＝1 ，2 ，3 ， …) ，那么这个数列是( ) A ．公比为 2 的等比数列 B ．公差为 3 的等差数列 C ．首项为 3 的等比数列 D ．首项为 3 的等差数列 解析：选 C. 因为 an ＝32－n(n ＝1 ，2 ，3 ，…) ，所以 a1 ＝3 ，a2 ＝1 ，an－1 ＝33－n(n ≥2) ，则有 an (a)－ (n) 1 ＝a (a)1 (2) ＝3 (1)(n ≥2) ，所以{an }为等比数列，且公比 q ＝3 (1) ，首项 a1 ＝3. 4 ．4 与 16 的等比中项是 ． 解析： 由 G2 ＝4×16 ＝64 ，得 G = ±8. 答案：±8 高效导学第二步 典例探究，提升关键能力 题型一 等比数列的概念 【例 1】 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． (1)1，，，， ， …； (2)10 ，10 ，10